二次方程式
二次方程式とは
\(x\) についての方程式で、整理すると
\[ ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \neq 0) \]
の形になるものを 二次方程式 という。
この方程式を成り立たせる \(x\) の値を解といい、解を求めることを二次方程式を解くという。
一次方程式との違い
- 一次方程式：\(x\) の最高次数が １次 → 解は １つ
- 二次方程式：\(x\) の最高次数が ２次 → 解は最大 ２つ
解き方① 因数分解を使う方法
原理
\(AB = 0\) ならば \(A = 0\) または \(B = 0\)
これを利用して、左辺を因数分解して解く。
\[ (x + 2)(x - 3) = 0 \]
\[ \Rightarrow \quad x + 2 = 0 \quad \text{または} \quad x - 3 = 0 \]
\[ \Rightarrow \quad x = -2 \quad \text{または} \quad x = 3 \]
手順
- 右辺を \(0\) にする
- 左辺を因数分解する
- 各因数 \(= 0\) として解く
例題１
次の方程式を解け。
\[ x^2 + 5x + 6 = 0 \]
解答
左辺を因数分解する。積が \(6\)、和が \(5\) → \(2\) と \(3\)
\[ (x + 2)(x + 3) = 0 \]
\[ x = -2 \quad \text{または} \quad x = -3 \]
例題２
次の方程式を解け。
\[ x^2 - 7x + 12 = 0 \]
解答
積が \(12\)、和が \(-7\) → \(-3\) と \(-4\)
\[ (x - 3)(x - 4) = 0 \]
\[ x = 3 \quad \text{または} \quad x = 4 \]
例題３
次の方程式を解け。
\[ x^2 - 4x = 0 \]
解答
共通因数 \(x\) をくくり出す。
\[ x(x - 4) = 0 \]
\[ x = 0 \quad \text{または} \quad x = 4 \]
例題４
次の方程式を解け。
\[ x^2 - 9 = 0 \]
解答
公式④（差の平方）で因数分解する。
\[ (x + 3)(x - 3) = 0 \]
\[ x = -3 \quad \text{または} \quad x = 3 \]
解き方② 平方根の考え方を使う方法
\(x^2 = k\) の形
\[ x^2 = k \quad \Rightarrow \quad x = \pm\sqrt{k} \quad (k \geq 0) \]
\[ x^2 = 7 \quad \Rightarrow \quad x = \pm\sqrt{7} \]
\((x + m)^2 = k\) の形
\[ (x + m)^2 = k \quad \Rightarrow \quad x + m = \pm\sqrt{k} \quad \Rightarrow \quad x = -m \pm \sqrt{k} \]
例題５
次の方程式を解け。
\[ x^2 = 12 \]
解答
\[ x = \pm\sqrt{12} = \pm 2\sqrt{3} \]
例題６
次の方程式を解け。
\[ (x - 3)^2 = 5 \]
解答
\[ x - 3 = \pm\sqrt{5} \]
\[ x = 3 \pm \sqrt{5} \]
例題７
次の方程式を解け。
\[ (x + 2)^2 = 16 \]
解答
\[ x + 2 = \pm 4 \]
\[ x = -2 + 4 = 2 \quad \text{または} \quad x = -2 - 4 = -6 \]
解き方③ 解の公式を使う方法
因数分解が難しい場合は解の公式を使う。
解の公式
二次方程式 \(ax^2 + bx + c = 0\) の解は、
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
解の公式の使い方
\(a,\ b,\ c\) の値を読み取って代入するだけ。
\[ 2x^2 + 3x - 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad a = 2,\ b = 3,\ c = -2 \]
\[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \times 2 \times (-2)}}{2 \times 2} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{4} = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{-3 \pm 5}{4} \]
\[ x = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{1}{2} \quad \text{または} \quad x = \frac{-3 - 5}{4} = -2 \]
例題８
次の方程式を解の公式を使って解け。
\[ x^2 + 4x + 1 = 0 \]
解答
\(a = 1,\ b = 4,\ c = 1\) を代入する。
\[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \times 1 \times 1}}{2 \times 1} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{12}}{2} \]
\(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\) なので、
\[ x = \frac{-4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -2 \pm \sqrt{3} \]
例題９
次の方程式を解の公式を使って解け。
\[ 3x^2 - 5x - 2 = 0 \]
解答
\(a = 3,\ b = -5,\ c = -2\) を代入する。
\[ x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \times 3 \times (-2)}}{2 \times 3} = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 24}}{6} = \frac{5 \pm \sqrt{49}}{6} = \frac{5 \pm 7}{6} \]
\[ x = \frac{5 + 7}{6} = 2 \quad \text{または} \quad x = \frac{5 - 7}{6} = -\frac{1}{3} \]
例題１０
次の方程式を解け。
\[ x^2 - 6x + 4 = 0 \]
解答
因数分解が難しいので解の公式を使う。\(a = 1,\ b = -6,\ c = 4\)
\[ x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 3 \pm \sqrt{5} \]
解き方の選び方
どの方法を使う？
二次方程式を整理（右辺を０に）
↓
x² = k の形？ → 平方根の考え方
↓
(x＋m)² = k の形？ → 平方根の考え方
↓
因数分解できそう？ → 因数分解
↓
難しければ → 解の公式（必ず解ける）
練習問題
因数分解を使う
(1) \(\ x^2 + 6x + 8 = 0\)
解答
積が \(8\)、和が \(6\) → \(2\) と \(4\)
\[ (x + 2)(x + 4) = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -2,\ -4 \]
(2) \(\ x^2 - 5x - 14 = 0\)
解答
積が \(-14\)、和が \(-5\) → \(2\) と \(-7\)
\[ (x + 2)(x - 7) = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -2,\ 7 \]
(3) \(\ x^2 - 25 = 0\)
解答
\[ (x + 5)(x - 5) = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 5 \]
(4) \(\ x^2 + 8x = 0\)
解答
\[ x(x + 8) = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0,\ -8 \]
(5) \(\ x^2 - 10x + 25 = 0\)
解答
完全平方式：\((x - 5)^2 = 0\)
\[ x = 5 \quad \text{（重解）} \]
平方根の考え方を使う
(6) \(\ x^2 = 18\)
解答
\[ x = \pm\sqrt{18} = \pm 3\sqrt{2} \]
(7) \(\ (x + 1)^2 = 9\)
解答
\[ x + 1 = \pm 3 \quad \Rightarrow \quad x = 2,\ -4 \]
(8) \(\ (x - 4)^2 = 7\)
解答
\[ x - 4 = \pm\sqrt{7} \quad \Rightarrow \quad x = 4 \pm \sqrt{7} \]
解の公式を使う
(9) \(\ x^2 + 3x - 1 = 0\)
解答
\(a=1,\ b=3,\ c=-1\)
\[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 4}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{13}}{2} \]
(10) \(\ 2x^2 - 4x - 1 = 0\)
解答
\(a=2,\ b=-4,\ c=-1\)
\[ x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 8}}{4} = \frac{4 \pm \sqrt{24}}{4} = \frac{4 \pm 2\sqrt{6}}{4} = \frac{2 \pm \sqrt{6}}{2} \]
発展
(11) \(\ (x + 1)(x - 3) = 5\)
解答
まず展開して整理する。
\[ x^2 - 2x - 3 = 5 \]
\[ x^2 - 2x - 8 = 0 \]
積が \(-8\)、和が \(-2\) → \(2\) と \(-4\)
\[ (x + 2)(x - 4) = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -2,\ 4 \]
(12) \(\ 2x^2 + 3 = 5x\)
解答
右辺を移項して整理する。
\[ 2x^2 - 5x + 3 = 0 \]
積が \(6\)（\(= 2 \times 3\)）、和が \(-5\) → \(-2\) と \(-3\)
\[ (2x - 3)(x - 1) = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{3}{2},\ 1 \]
まとめ
二次方程式の解き方３つ
| 方法 | 使う場面 | 形 |
| 平方根 | \(x^2 = k\) や \((x+m)^2 = k\) | \(x = \pm\sqrt{k}\) |
| 因数分解 | 左辺が因数分解できる | \((x+a)(x+b)=0\) |
| 解の公式 | どんな二次方程式にも使える | \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\) |
解の公式を使う前に必ず確認
- 右辺を \(0\) に整理してから \(a,\ b,\ c\) を読み取る
- \(b^2 - 4ac\) が負になると実数の解がない（中学範囲では出題されない）