二次方程式の利用（文章題）¶

文章題を解く手順¶

文章題の解き方ステップ

何を \(x\) とおくか決める
等しい関係を見つけて方程式を立てる
方程式を解く
解が問題の条件に合うか確認する（負の値・不適な値を除く）
答えを書く（単位も忘れずに）

解の確認を忘れずに！

二次方程式の解は２つ出ることが多い。問題の意味に合わない解は捨てる。

タイプ① 数に関する問題¶

例題１¶

連続する２つの自然数がある。それぞれを２乗した和が \(85\) のとき、この２つの自然数を求めよ。

解答

小さい方の自然数を \(x\) とすると、大きい方は \(x + 1\)。

方程式を立てる：

\[ x^2 + (x+1)^2 = 85 \]

\[ x^2 + x^2 + 2x + 1 = 85 \]

\[ 2x^2 + 2x - 84 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 + x - 42 = 0 \]

\[ (x + 7)(x - 6) = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -7 \quad \text{または} \quad x = 6 \]

確認： \(x\) は自然数なので \(x = -7\) は不適。

答え：６と７

例題２¶

ある正の数の２乗から、その数の \(3\) 倍を引くと \(10\) になる。その数を求めよ。

解答

ある正の数を \(x\) とする。

方程式を立てる：

\[ x^2 - 3x = 10 \]

\[ x^2 - 3x - 10 = 0 \quad \Rightarrow \quad (x-5)(x+2) = 0 \]

\[ x = 5 \quad \text{または} \quad x = -2 \]

確認： \(x > 0\) なので \(x = -2\) は不適。

答え：５

タイプ② 図形に関する問題¶

例題３¶

縦が \(8\) cm、横が \(12\) cm の長方形がある。縦と横をそれぞれ同じ長さだけ短くして、面積を元の半分にしたい。何 cm 短くすればよいか。

解答

短くする長さを \(x\) cm とする。

元の面積：\(8 \times 12 = 96\) cm²

方程式を立てる：

\[ (8 - x)(12 - x) = 48 \]

\[ 96 - 20x + x^2 = 48 \]

\[ x^2 - 20x + 48 = 0 \quad \Rightarrow \quad (x-4)(x-16) = 0 \]

\[ x = 4 \quad \text{または} \quad x = 16 \]

確認： \(x = 16\) のとき縦 \(8 - 16 = -8\) cm となり不適。

答え：４ cm

例題４¶

正方形の土地の内側に幅が一定の道を作る。正方形の１辺が \(20\) m のとき、道を除いた内側の面積が \(256\) m² になるよう道の幅を求めよ。

┌──────────────┐
│  ┌──────┐  │
│  │      │  │← x m
│  │      │  │
│  └──────┘  │
└──────────────┘
      20 m

解答

道の幅を \(x\) m とすると、内側の正方形の１辺は \((20 - 2x)\) m。

方程式を立てる：

\[ (20 - 2x)^2 = 256 \]

\[ 20 - 2x = \pm 16 \]

\(20 - 2x > 0\) なので正の値のみ採用。

\[ 20 - 2x = 16 \quad \Rightarrow \quad x = 2 \]

確認： \(0 < x < 10\) を満たす。✓

答え：２ m

例題５¶

直角三角形の直角をはさむ２辺の長さの差が \(2\) cm、斜辺の長さが \(10\) cm である。２辺の長さを求めよ。

解答

短い辺を \(x\) cm とすると長い辺は \((x+2)\) cm。

ピタゴラスの定理より、

\[ x^2 + (x+2)^2 = 10^2 \]

\[ x^2 + x^2 + 4x + 4 = 100 \]

\[ 2x^2 + 4x - 96 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 + 2x - 48 = 0 \]

\[ (x+8)(x-6) = 0 \]

\(x > 0\) なので \(x = 6\)

答え：６ cm と８ cm

タイプ③ 速さ・時間に関する問題¶

例題６¶

ある人が \(240\) km の道のりを一定の速さで走った。もし時速を \(4\) km 速くすると、かかる時間が \(1\) 時間短くなるという。もとの速さを求めよ。

解答

もとの速さを \(x\) km/時とする。

もとの時間：\(\dfrac{240}{x}\) 時間
速くしたときの時間：\(\dfrac{240}{x+4}\) 時間

方程式を立てる：

\[ \frac{240}{x} - \frac{240}{x+4} = 1 \]

両辺に \(x(x+4)\) をかける。

\[ 240(x+4) - 240x = x(x+4) \]

\[ 960 = x^2 + 4x \]

\[ x^2 + 4x - 960 = 0 \quad \Rightarrow \quad (x+32)(x-30) = 0 \]

確認： 速さは正なので \(x = -32\) は不適。

答え：時速 30 km

練習問題¶

(1) 連続する２つの正の整数の積が \(72\) のとき、この２つの整数を求めよ。

解答

小さい方を \(x\) とすると \(x(x+1) = 72\)

\[ x^2 + x - 72 = 0 \quad \Rightarrow \quad (x+9)(x-8) = 0 \]

\(x > 0\) なので \(x = 8\)

答え：８と９

(2) 縦が \(6\) cm、横が \(10\) cm の長方形がある。縦と横をそれぞれ同じ長さだけ長くして、面積を元の２倍にしたい。何 cm 長くすればよいか。

解答

長くする長さを \(x\) cm とすると、

\[ (6+x)(10+x) = 120 \]

\[ x^2 + 16x + 60 = 120 \]

\[ x^2 + 16x - 60 = 0 \quad \Rightarrow \quad (x+20)(x-3) = 0 \]

\(x > 0\) なので \(x = 3\)

答え：３ cm

(3) \(AB = 12\) cm の線分 AB 上に点 P がある。AP を１辺とする正方形と PB を１辺とする正方形の面積の和が \(80\) cm² のとき、AP の長さを求めよ。

解答

\(AP = x\) cm とすると \(PB = 12 - x\) cm。

\[ x^2 + (12-x)^2 = 80 \]

\[ 2x^2 - 24x + 144 = 80 \]

\[ x^2 - 12x + 32 = 0 \quad \Rightarrow \quad (x-4)(x-8) = 0 \]

\(0 < x < 12\) を満たすのでどちらも適する。

答え：AP ＝４ cm または８ cm

(4)（発展） 縦 \(10\) m、横 \(16\) m の長方形の土地に、同じ幅の道を縦と横に１本ずつ作る。道を除いた面積の合計が \(105\) m² になるとき、道の幅を求めよ。

解答

道の幅を \(x\) m とすると、道を除いた部分は縦 \((10-x)\) m、横 \((16-x)\) m の長方形と考えられる。

\[ (10-x)(16-x) = 105 \]

\[ 160 - 26x + x^2 = 105 \]

\[ x^2 - 26x + 55 = 0 \quad \Rightarrow \quad (x-2)(x-24) = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2\ \text{または}\ 24 \]

\(0 < x < 10\) より \(x = 24\) は不適。

答え：２ m

(5)（発展） 兄と弟の年齢の積が \(108\) で、兄は弟より \(3\) 歳年上である。２人の年齢をそれぞれ求めよ。

解答

弟の年齢を \(x\) 歳とすると兄は \((x+3)\) 歳。

\[ x(x+3) = 108 \]

\[ x^2 + 3x - 108 = 0 \quad \Rightarrow \quad (x+12)(x-9) = 0 \]

\(x > 0\) なので \(x = 9\)

答え：弟９歳、兄 12歳

まとめ¶

文章題のチェックリスト

何を \(x\) としたか明記した
\(x\) の単位を確認した（cm、m、個、歳…）
等しい関係から方程式を正しく立てた
解を２つとも求めた
問題の条件に合わない解を除いた
答えの単位を書いた

よく出るパターンと方程式の立て方

パターン	方程式の立て方のヒント
連続する整数	小さい方を \(x\)、大きい方を \(x+1\)
長方形の面積	縦 \(\times\) 横＝面積
正方形の道（内側）	道を除いた１辺 \(=\) 全体 \(-\) 道幅 \(\times 2\)
直角三角形	\(a^2 + b^2 = c^2\)（ピタゴラスの定理）
速さ・時間	時間 \(=\) 距離 \(\div\) 速さ