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２点間の距離

考え方：三平方の定理を座標平面で使う

座標平面上の2点 \(A(x_1,\ y_1)\)、\(B(x_2,\ y_2)\) の距離は、直角三角形を作って三平方の定理を使うことで求められる。

点 H を \((x_2,\ y_1)\) にとると、\(\triangle AHB\) は直角三角形になる。

  • AH（横の長さ）\(= x_2 - x_1\)
  • HB（縦の長さ）\(= y_2 - y_1\)
  • AB（斜辺）\(= ?\)

三平方の定理 \(AB^2 = AH^2 + HB^2\) より：

\[ AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

2点間の距離の公式

2点 \(A(x_1,\ y_1)\)、\(B(x_2,\ y_2)\) の距離は

\[ AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

注意

  • \(x_2 - x_1\) と \(y_2 - y_1\) はどちらが引かれる側でも 2乗するので符号は関係ない。
  • \((x_1 - x_2)^2 = (x_2 - x_1)^2\) が成り立つ。

例題

例題１　基本的な2点間の距離

2点 \(A(1,\ 2)\)、\(B(4,\ 6)\) の距離を求めよ。

解答

\(x\) の差：\(4 - 1 = 3\)

\(y\) の差：\(6 - 2 = 4\)

\[ AB = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]

例題２　座標に負の数が含まれる場合

2点 \(P(-2,\ 1)\)、\(Q(4,\ -3)\) の距離を求めよ。

解答

\(x\) の差：\(4 - (-2) = 6\)

\(y\) の差：\(-3 - 1 = -4\) → 2乗すると \((-4)^2 = 16\)

\[ PQ = \sqrt{6^2 + (-4)^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \]

マイナスが出ても大丈夫

差が負の数になっても、2乗するので必ず正の値になる。

例題３　答えが整数にならない場合

2点 \(A(0,\ 0)\)、\(B(3,\ 4)\) を結ぶ線分の長さと、\(A(1,\ 3)\)、\(B(4,\ 7)\) の距離をそれぞれ求めよ。

解答

① \(O(0,0)\)、\(B(3,4)\)

\[ OB = \sqrt{(3-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5 \]

② \(A(1,3)\)、\(B(4,7)\)

\(x\) の差：\(4 - 1 = 3\)、\(y\) の差：\(7 - 3 = 4\)（①と同じ差！）

\[ AB = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5 \]

2つの線分の長さは等しい。平行移動しても距離は変わらないことがわかる。

例題４　3点が与えられた場合

3点 \(A(2,\ 1)\)、\(B(6,\ 4)\)、\(C(2,\ 7)\) について、次の問いに答えよ。

(1) \(AB\) の長さを求めよ。

(2) \(BC\) の長さを求めよ。

(3) \(\triangle ABC\) はどんな三角形か答えよ。

解答

(1) \(AB\) の長さ

\(x\) の差：\(6-2=4\)、\(y\) の差：\(4-1=3\)

\[ AB = \sqrt{4^2+3^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5 \]

(2) \(BC\) の長さ

\(x\) の差：\(2-6=-4\)、\(y\) の差：\(7-4=3\)

\[ BC = \sqrt{(-4)^2+3^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5 \]

(3) \(CA\) の長さ

\(x\) の差：\(2-2=0\)、\(y\) の差：\(1-7=-6\)

\[ CA = \sqrt{0^2+(-6)^2} = \sqrt{36} = 6 \]

\(AB = BC = 5\)、\(CA = 6\) なので、\(\triangle ABC\) は 二等辺三角形。

練習問題

(1) 2点 \(A(2,\ 3)\)、\(B(5,\ 7)\) の距離を求めよ。

解答
\[ AB = \sqrt{(5-2)^2+(7-3)^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5 \]

(2) 2点 \(P(-1,\ 4)\)、\(Q(5,\ -4)\) の距離を求めよ。

解答

\(x\) の差：\(5-(-1)=6\)、\(y\) の差：\(-4-4=-8\)

\[ PQ = \sqrt{6^2+(-8)^2} = \sqrt{36+64} = \sqrt{100} = 10 \]

(3) 2点 \(A(-3,\ 2)\)、\(B(1,\ -1)\) の距離を求めよ。

解答

\(x\) の差：\(1-(-3)=4\)、\(y\) の差：\(-1-2=-3\)

\[ AB = \sqrt{4^2+(-3)^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5 \]

(4) 点 \(A(1,\ 2)\) から点 \(B(4,\ 6)\) と点 \(C(5,\ 2)\) への距離をそれぞれ求め、\(AB\) と \(AC\) のどちらが長いか答えよ。

解答

\(AB = \sqrt{(4-1)^2+(6-2)^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5\)

\(AC = \sqrt{(5-1)^2+(2-2)^2} = \sqrt{16+0} = \sqrt{16} = 4\)

\(AB = 5 > AC = 4\) なので、\(AB\) の方が長い。

(5) 3点 \(A(0,\ 0)\)、\(B(4,\ 0)\)、\(C(2,\ 2\sqrt{3})\) について、\(AB\)、\(BC\)、\(CA\) の長さを求めよ。また \(\triangle ABC\) はどんな三角形か。

解答

\(AB = \sqrt{(4-0)^2+(0-0)^2} = \sqrt{16} = 4\)

\(BC = \sqrt{(2-4)^2+(2\sqrt{3}-0)^2} = \sqrt{4+12} = \sqrt{16} = 4\)

\(CA = \sqrt{(0-2)^2+(0-2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4+12} = \sqrt{16} = 4\)

\(AB = BC = CA = 4\) なので、\(\triangle ABC\) は 正三角形。

(6)（発展） 点 \(A(a,\ 3)\) と点 \(B(5,\ 7)\) の距離が \(5\) であるとき、\(a\) の値を求めよ。

解答

距離の公式より、

\[ \sqrt{(5-a)^2+(7-3)^2} = 5 \]
\[ (5-a)^2 + 16 = 25 \]
\[ (5-a)^2 = 9 \]
\[ 5-a = \pm 3 \]
\[ a = 2 \quad \text{または} \quad a = 8 \]

まとめ

2点間の距離のポイント

内容 内容
公式 \(AB = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\)
符号の扱い 差が負でも2乗するので問題なし
原点からの距離 \(\sqrt{x^2+y^2}\)（\(x_1=y_1=0\) の特殊ケース）
応用 3点の距離を比べて三角形の種類を判定
発展 距離 \(= k\) の条件から座標の値を逆算