三平方の定理　練習問題¶

\(\sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\)（cm）

\(\sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15\)（cm）

\(\sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}\)（cm）

\(\sqrt{36 - 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\)（cm）

辺の比は \(1 : 1 : \sqrt{2}\)。\(8 \div \sqrt{2} = 4\sqrt{2}\)（cm）

辺の比は \(1 : 2 : \sqrt{3}\)。斜辺 \(10\) cm、残りの辺 \(5\sqrt{3}\) cm

高さ \(= 8 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}\)（cm）。面積 \(= \dfrac{1}{2} \times 8 \times 4\sqrt{3} = 16\sqrt{3}\)（cm²）

\(5\sqrt{2}\) cm

(ア)、(ウ)、(エ)

(ア) \(81 + 144 = 225\)　(イ) \(16 + 25 = 41 \neq 36\)　(ウ) \(1 + 3 = 4\)　(エ) \(2 + 3 = 5\)

\(\sqrt{4^2 + 3^2} = 5\)

\(\sqrt{3^2 + 6^2} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}\)

\(\sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10\)

\(\sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7\)（cm）

\(\sqrt{9 + 9 + 9} = 3\sqrt{3}\)（cm）

A から BC に垂線 AH を引くと、H は BC の中点で BH \(= 2\) cm

AH \(= \sqrt{49 - 4} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}\)（cm）。面積 \(= \dfrac{1}{2} \times 4 \times 3\sqrt{5} = 6\sqrt{5}\)（cm²）

中心から弦に引いた垂線は弦を2等分する。弦の半分 \(= \sqrt{25 - 9} = 4\)

弦の長さ \(= 8\) cm

接線は接点を通る半径に垂直なので、\(\triangle\)OAP は \(\angle\)A \(= 90°\) の直角三角形。

PA \(= \sqrt{100 - 36} = 8\)（cm）

A、D から BC に垂線を引くと、両端に底辺 \((10 - 4) \div 2 = 3\) cm の直角三角形ができる。

高さ \(= \sqrt{25 - 9} = 4\)（cm）。面積 \(= \dfrac{1}{2} \times (4 + 10) \times 4 = 28\)（cm²）

BC \(= \sqrt{100 - 36} = 8\)（cm）

面積を2通りで表す。\(\dfrac{1}{2} \times 6 \times 8 = \dfrac{1}{2} \times 10 \times\) CH より CH \(= \dfrac{24}{5}\)（cm）

AB\(^2 = 16 + 9 = 25\)、BC\(^2 = 9 + 16 = 25\)、CA\(^2 = 1 + 49 = 50\)

AB \(=\) BC で、AB\(^2 +\) BC\(^2 =\) CA\(^2\) なので、\(\angle\)B \(= 90°\) の直角二等辺三角形

\(5^2 + (b - 4)^2 = 169\)、\((b - 4)^2 = 144\)、\(b - 4 = \pm 12\)

\(b = 16,\ -8\)

\(\sqrt{16 + 16 + 4} = 6\)（cm）

底面の対角線の半分は \(4\sqrt{2}\) cm。高さ \(= \sqrt{81 - 32} = 7\)（cm）

体積 \(= \dfrac{1}{3} \times 64 \times 7 = \dfrac{448}{3}\)（cm³）

高さ \(= \sqrt{169 - 25} = 12\)（cm）。体積 \(= \dfrac{1}{3} \times 25\pi \times 12 = 100\pi\)（cm³）

母線 \(= \sqrt{36 + 64} = 10\)（cm）

側面の扇形の面積 \(= \pi \times 10^2 \times \dfrac{2\pi \times 6}{2\pi \times 10} = 60\pi\)（cm²）

頂点から底面の辺の中点までの長さ（側面の三角形の高さ）\(= \sqrt{4^2 + 3^2} = 5\)（cm）

表面積 \(= 36 + 4 \times \dfrac{1}{2} \times 6 \times 5 = 96\)（cm²）

面 ABFE と面 BCGF を展開して1つの長方形にすると、A から G までの直線が最短。

横 \(5 + 3 = 8\)、縦 \(6\) の長方形の対角線なので \(\sqrt{64 + 36} = 10\)（cm）

折り返しと錯角から \(\angle\)EBD \(= \angle\)EDB なので、EB \(=\) ED。ED \(= x\) とすると AE \(= 8 - x\)

\(\triangle\)ABE で \(6^2 + (8 - x)^2 = x^2\)、\(100 - 16x = 0\)、\(x = \dfrac{25}{4}\)（cm）

BC \(= 14\)、AB \(= 13\)、CA \(= 15\) とし、A から BC に垂線 AH を引く。BH \(= x\)、AH \(= h\) とする。

\(x^2 + h^2 = 169\)、\((14 - x)^2 + h^2 = 225\)。ひくと \(196 - 28x = 56\)、\(x = 5\)、\(h = 12\)

面積 \(= \dfrac{1}{2} \times 14 \times 12 = 84\)（cm²）

側面の展開図は、半径 \(12\) cm、中心角 \(360° \times \dfrac{3}{12} = 90°\) の扇形。

糸の最短の長さは、扇形の両端の A を結ぶ線分で、直角二等辺三角形の斜辺。\(12\sqrt{2}\) cm