空間図形への応用¶

この単元のポイント¶

空間図形で三平方の定理を使うとき、最大の難関は「どこに直角三角形を見つけるか」。

空間図形での考え方

立体の中に直角三角形を見つけて、平面の問題に落とし込むのが基本。

手順 1. 求めたい辺（長さ）を斜辺にもつ直角三角形を探す 2. その直角三角形の2辺の長さを求める 3. 三平方の定理で計算する

直角三角形は底面・断面・補助線の中に隠れていることが多い。

基本図形①：直方体の対角線¶

直方体（箱型）では、2段階で三平方の定理を使う。

なぜ2段階になるのか？

空間対角線 \(d\) を直接求めようとしても、すぐに直角三角形が見えない。そこで、まず底面で直角三角形を作り、次に垂直方向で直角三角形を作る。

\[ d_1 = \sqrt{a^2 + b^2} \quad \xrightarrow{\text{次に}} \quad d = \sqrt{d_1^2 + h^2} = \sqrt{a^2 + b^2 + h^2} \]

まとめると1本の式でも書ける

\[ d = \sqrt{a^2 + b^2 + h^2} \]

基本図形②：正四角錐（正方形の底面をもつ四角錐）¶

正四角錐では「頂点から底面に下ろした垂線の足」が底面の中心になる。

重要ポイント：底面の中心から頂点までの距離

底面が1辺 \(a\) の正方形のとき、対角線の長さは \(a\sqrt{2}\)。中心はその半分の位置なので、中心から底面の頂点までの距離は：

\[ \frac{a\sqrt{2}}{2} \]

この値が分かれば、高さ \(h\) と組み合わせて斜辺（側面の辺）\(l\) が求まる。

\[ l = \sqrt{h^2 + \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{h^2 + \frac{a^2}{2}} \]

基本図形③：正三角形の高さと重心¶

正三角形の頂点から底辺への垂線の足は底辺の中点。

1辺 \(a\) の正三角形の高さ：

\[ h = \sqrt{a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}a \]

重心の位置（正三角錐でよく使う！）

正三角形の重心は、高さを \(\mathbf{2:1}\) に分ける位置にある。

頂点 → 重心の距離 \(= h \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}a\)
重心 → 底辺中点の距離 \(= h \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{6}a\)

正三角錐の高さを求めるとき、この「重心→底面の頂点の距離」が直角三角形の底辺になる。

例題¶

例題１　直方体の対角線¶

縦 \(3\)、横 \(4\)、高さ \(5\) の直方体の対角線の長さを求めよ。

解答

ステップ①　底面の対角線 \(d_1\) を求める

底面は縦 \(3\)、横 \(4\) の長方形。

\[ d_1 = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]

ステップ②　空間対角線 \(d\) を求める

\(d_1 = 5\)（底面の対角線）と高さ \(5\) で直角三角形を作る。

\[ d = \sqrt{d_1^2 + 5^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \]

1本の式でも書ける

\[ d = \sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2} = \sqrt{9+16+25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \]

例題２　正四角錐の高さ¶

底面が1辺 \(6\) の正方形で、すべての側面の辺（稜）が \(5\) の正四角錐がある。この正四角錐の高さを求めよ。

解答

ステップ①　底面の中心 O から頂点までの距離を求める

底面は1辺 \(6\) の正方形。対角線の長さ \(= 6\sqrt{2}\)。中心は対角線の中点なので、中心 O から底面の頂点までの距離は：

\[ \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} \]

ステップ②　三平方の定理で高さ \(h\) を求める

直角三角形の斜辺が \(5\)（稜）、底辺が \(3\sqrt{2}\) なので：

\[ h = \sqrt{5^2 - (3\sqrt{2})^2} = \sqrt{25 - 18} = \sqrt{7} \]

例題３　正四角錐の体積と側面の辺¶

底面が1辺 \(4\) の正方形で、高さが \(3\) の正四角錐の体積を求めよ。また側面の辺（稜）の長さも求めよ。

解答

体積を求める

四角錐の体積 \(= \dfrac{1}{3} \times\) 底面積 \(\times\) 高さ

\[ V = \frac{1}{3} \times 4^2 \times 3 = \frac{1}{3} \times 16 \times 3 = 16 \]

側面の辺（稜）の長さを求める

底面の中心 O から底面の頂点までの距離：

\[ \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \]

三平方の定理より：

\[ l = \sqrt{3^2 + (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{9 + 8} = \sqrt{17} \]

例題４　正三角錐（正四面体）の高さ¶

1辺がすべて \(6\) の正三角錐（正四面体）の高さを求めよ。

重要：正三角形の重心の位置

正三角形の重心は高さの \(\dfrac{2}{3}\) の位置にある。

1辺 \(a\) の正三角形の外接円の半径（重心→頂点）\(= \dfrac{\sqrt{3}}{3}a\)

解答

ステップ①　底面の正三角形の重心 G から頂点 B までの距離を求める

1辺 \(6\) の正三角形の高さ：

\[ \frac{\sqrt{3}}{2} \times 6 = 3\sqrt{3} \]

重心は高さの \(\dfrac{2}{3}\) の位置なので、重心から底面の頂点までの距離：

\[ 3\sqrt{3} \times \frac{2}{3} = 2\sqrt{3} \]

ステップ②　三平方の定理で高さ \(h\) を求める

斜辺が \(6\)（側面の辺）、底辺が \(2\sqrt{3}\) なので：

\[ h = \sqrt{6^2 - (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{36 - 12} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \]

例題５　円錐の高さと体積¶

底面の半径が \(4\)、母線（側面の斜辺）が \(5\) の円錐がある。高さを求めよ。また体積を求めよ。

解答

円錐を正面から見ると、高さ・半径・母線が直角三角形を作る。

\[ h = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3 \]

体積

\[ V = \frac{1}{3} \times \pi r^2 \times h = \frac{1}{3} \times \pi \times 16 \times 3 = 16\pi \]

練習問題¶

(1) 縦 \(2\)、横 \(2\)、高さ \(1\) の直方体の対角線の長さを求めよ。

解答

\[ d = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{4+4+1} = \sqrt{9} = 3 \]

(2) 縦 \(1\)、横 \(2\)、高さ \(2\) の直方体の対角線の長さを求めよ。

解答

\[ d = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1+4+4} = \sqrt{9} = 3 \]

(3) 底面が1辺 \(4\) の正方形で、すべての側面の辺（稜）が \(6\) の正四角錐がある。高さを求めよ。

解答

底面の中心から頂点までの距離（底面の対角線の半分）：

\[ \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \]

三平方の定理より：

\[ h = \sqrt{6^2 - (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{36 - 8} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7} \]

(4) 底面の半径が \(3\)、高さが \(4\) の円錐の母線の長さを求めよ。また側面積を求めよ。

解答

母線の長さ \(l\)

\[ l = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]

側面積

\[ S = \pi r l = \pi \times 3 \times 5 = 15\pi \]

(5) 1辺が \(4\) の正四面体（すべての面が正三角形）の高さと体積を求めよ。

解答

ステップ①　底面の正三角形の重心から頂点までの距離

1辺 \(4\) の正三角形の高さ：

\[ \frac{\sqrt{3}}{2} \times 4 = 2\sqrt{3} \]

重心は高さの \(\dfrac{2}{3}\) の位置：

\[ 2\sqrt{3} \times \frac{2}{3} = \frac{4\sqrt{3}}{3} \]

ステップ②　高さを求める

\[ h = \sqrt{4^2 - \left(\frac{4\sqrt{3}}{3}\right)^2} = \sqrt{16 - \frac{48}{9}} = \sqrt{\frac{144-48}{9}} = \sqrt{\frac{96}{9}} = \frac{4\sqrt{6}}{3} \]

体積

底面積 \(= \dfrac{\sqrt{3}}{4} \times 4^2 = 4\sqrt{3}\)

\[ V = \frac{1}{3} \times 4\sqrt{3} \times \frac{4\sqrt{6}}{3} = \frac{16\sqrt{18}}{9} = \frac{16 \times 3\sqrt{2}}{9} = \frac{16\sqrt{2}}{3} \]

(6)（発展） 底面の半径 \(r\)、母線 \(l\) の円錐を、頂点を通り底面に垂直な平面で切ったときの断面積を求めよ。

解答

断面は二等辺三角形になる。

高さ：\(h = \sqrt{l^2 - r^2}\)

底辺：\(2r\)（直径）

断面積：

\[ S = \frac{1}{2} \times 2r \times \sqrt{l^2-r^2} = r\sqrt{l^2-r^2} \]

まとめ¶

空間図形への応用のポイント

図形	手順	よく使う直角三角形
直方体の対角線	①底面の対角線 → ②空間対角線	底面の長方形、側面の長方形
正四角錐の高さ・稜	底面中心 → 頂点の距離 \(= \dfrac{a\sqrt{2}}{2}\)	高さ・半対角線・稜
正三角錐（正四面体）の高さ	重心 → 底面の頂点の距離 \(= \dfrac{\sqrt{3}}{3}a\)	高さ・外接円半径・斜辺
円錐	高さ・半径・母線が直角三角形	\(r^2 + h^2 = l^2\)

空間図形でつまずきやすいポイント

「垂線の足」がどこかをまず確認する（底面の中心？辺の中点？）
正四角錐の底面中心から頂点まで → 対角線の半分 \(\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\)
正三角形の重心から頂点まで → 高さの \(\dfrac{2}{3}\) \(= \dfrac{\sqrt{3}}{3}a\)
立体は断面に切り落として考えると直角三角形が見えやすい