三平方の定理¶

三平方の定理とは¶

直角三角形の3辺の間には次の関係が成り立つ。

三平方の定理（ピタゴラスの定理）

直角三角形において、直角をはさむ2辺の長さを $a$、$b$、斜辺の長さを $c$ とすると、

\[ a^2 + b^2 = c^2 \]

辺の長さを求める¶

斜辺を求めるとき¶

\[ c = \sqrt{a^2 + b^2} \]

直角をはさむ辺を求めるとき¶

\[ a = \sqrt{c^2 - b^2} \]

注意

$c$ は必ず斜辺（直角の向かいの辺・最も長い辺）。$a^2 + b^2$ は直角をはさむ2辺の二乗の和。

特別な直角三角形¶

直角二等辺三角形（45°-45°-90°）¶

直角をはさむ2辺が等しい（$a = b$）直角三角形。

\[ \text{斜辺} = a\sqrt{2} \]

30°-60°-90° の三角形¶

正三角形を半分にした直角三角形。辺の比は $1 : \sqrt{3} : 2$。

\[ \text{各辺の比} \quad 1 : \sqrt{3} : 2 \]

辺の比の覚え方

角度	30°	60°	90°
対辺の比	$1$	$\sqrt{3}$	$2$

三平方の定理の逆¶

逆定理

3辺の長さが $a$、$b$、$c$ の三角形で $a^2 + b^2 = c^2$ が成り立てば、その三角形は直角三角形で、$c$ の対角が直角。

例） $a=5,\ b=12,\ c=13$ のとき、$5^2+12^2 = 25+144 = 169 = 13^2$ なので直角三角形。

例題¶

例題１　斜辺を求める¶

直角三角形で直角をはさむ2辺が $3$ と $4$ のとき、斜辺の長さを求めよ。

解答

\[ c = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]

例題２　一辺を求める¶

直角三角形で斜辺が $13$、一方の辺が $5$ のとき、もう一方の辺を求めよ。

解答

斜辺が $13$、一辺が $5$ なので、

\[ a = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 \]

例題３　直角二等辺三角形¶

直角をはさむ2辺がともに $6$ の直角二等辺三角形の斜辺を求めよ。

解答

直角二等辺三角形の斜辺 $=$ 辺 $\times \sqrt{2}$ より、

\[ c = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \]

例題４　30°-60°-90° の三角形¶

斜辺が $10$ の 30°-60°-90° の三角形で、30° の対辺と 60° の対辺の長さを求めよ。

解答

斜辺 $10$、辺の比は $1:\sqrt{3}:2$ より、

30° の対辺（最短辺） $= 10 \times \dfrac{1}{2} = 5$
60° の対辺 $= 10 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}$

例題５　座標平面上の2点間の距離¶

2点 $A(1,\ 2)$、$B(5,\ 5)$ の間の距離を求めよ。

解答

$x$ 方向の差：$5 - 1 = 4$、$y$ 方向の差：$5 - 2 = 3$

\[ AB = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \]

2点間の距離の公式

2点 $(x_1,\ y_1)$、$(x_2,\ y_2)$ の距離 $= \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$

例題６　直方体の対角線¶

縦 $3$、横 $4$、高さ $12$ の直方体の対角線の長さを求めよ。

解答

ステップ①　底面（縦 $3$、横 $4$）の対角線

\[ d_1 = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5 \]

ステップ②　$d_1$ と高さ $12$ で三平方の定理を使う

\[ d = \sqrt{d_1^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \]

練習問題¶

(1) 直角三角形で直角をはさむ2辺が $8$ と $15$ のとき、斜辺を求めよ。

解答

\[ c = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17 \]

(2) 斜辺が $\sqrt{13}$、一辺が $2$ の直角三角形の残りの辺を求めよ。

解答

\[ a = \sqrt{(\sqrt{13})^2 - 2^2} = \sqrt{13 - 4} = \sqrt{9} = 3 \]

(3) 1辺が $6$ の正三角形の高さを求めよ。

解答

頂点から底辺に垂線を下ろすと、底辺は二等分されて $\dfrac{6}{2} = 3$。

\[ h = \sqrt{6^2 - 3^2} = \sqrt{36 - 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \]

(4) 2点 $A(-2,\ 1)$、$B(4,\ -3)$ の距離を求めよ。

解答

\[ AB = \sqrt{(4-(-2))^2+(-3-1)^2} = \sqrt{36+16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \]

(5) 縦 $6$、横 $6$、高さ $7$ の直方体の対角線を求めよ。

解答

底面の対角線：$\sqrt{6^2+6^2} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$

空間対角線：$\sqrt{(6\sqrt{2})^2 + 7^2} = \sqrt{72+49} = \sqrt{121} = 11$

(6)（発展） 三辺が $7$、$24$、$25$ の三角形が直角三角形かどうか判定せよ。

解答

$7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2$ ✓

三平方の定理の逆より、この三角形は直角三角形。

まとめ¶

三平方の定理のポイント

内容	公式
基本公式	$a^2 + b^2 = c^2$（$c$ が斜辺）
斜辺を求める	$c = \sqrt{a^2+b^2}$
辺を求める	$a = \sqrt{c^2-b^2}$
45°-45°-90°	斜辺 $= $ 辺 $\times \sqrt{2}$
30°-60°-90°	辺の比 $= 1 : \sqrt{3} : 2$
逆定理	$a^2+b^2=c^2$ なら直角三角形
2点間の距離	$\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$
直方体の対角線	三平方の定理を2回使う

内容	公式
基本公式	\(a^2 + b^2 = c^2\)（\(c\) が斜辺）
斜辺を求める	\(c = \sqrt{a^2+b^2}\)
辺を求める	\(a = \sqrt{c^2-b^2}\)
45°-45°-90°	斜辺 $= $ 辺 \(\times \sqrt{2}\)
30°-60°-90°	辺の比 \(= 1 : \sqrt{3} : 2\)
逆定理	\(a^2+b^2=c^2\) なら直角三角形
2点間の距離	\(\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\)
直方体の対角線	三平方の定理を2回使う