連立方程式の解き方（加減法）¶

\(y\) の符号が逆（\(-y\) と \(+y\)）なので、①+②で \(y\) を消去する。

\(x = 3\) を②に代入：

確認：\(①: 2\times3-5=1\ \checkmark\)、\(②: 3+5=8\ \checkmark\)

\(y\) の係数が両方 \(+3\) で同じ → ①−②で \(y\) を消去する。

\(x = 3\) を②に代入：

確認：\(①: 5\times3+3\times\frac{4}{3}=15+4=19\ \checkmark\)

\(y\) を消したい → \(y\) の係数は \(+1\) と \(-3\) → ①を \(3\) 倍して係数を \(3\) にそろえる。

\(y\) の符号が \(+3\) と \(-3\) で逆なので ①'+②で消去する。

…となりますが、この問題は別の文字を消した方がきれいです。
\(x\) を消す方法を試してみましょう。\(x\) の係数は \(3\) と \(2\) → 最小公倍数 \(6\) にそろえる。

\(x\) の符号が同じ \(+6\) なので ①'−②'で消去する。

…やはりきれいな答えになりません。
\(y\) を消す方法に戻り、①を \(3\) 倍して①'+②を計算します。

\(x = \dfrac{32}{11}\) を①に代入：

確認：\(①: \frac{96}{11}+\frac{25}{11}=\frac{121}{11}=11\ \checkmark\)

\(y\) を消す：\(y\) の係数は \(3\) と \(2\) → 最小公倍数 \(6\) にそろえる。

\(y\) の係数が同じ \(-6\) なので ②'−①'で消去する。

\(x = 2\) を①に代入：

確認：\(①: 8-3=5\ \checkmark\)、\(②: 6-2=4\ \checkmark\)

まず各式の分母をはらって整数係数の式に直す。

①の分母の最小公倍数は \(6\)：

②の分母の最小公倍数は \(6\)：

整数係数の連立方程式：

\(y\) を消去する：\(y\) の係数は \(2\) と \(3\) → 最小公倍数 \(6\) にそろえる。

\(y\) の符号が逆（\(+6\) と \(-6\)）なので ①''+②''で消去する。

…整数にならない。もう一度確認すると、①を整理し直す。

実はこの問題は \(y\) の消去よりも \(x\) の消去の方がきれいです。
\(x\) の係数は \(3\) と \(2\) → 最小公倍数 \(6\) にそろえる。

\(x\) の符号が同じ \(+6\) なので ①''−②''で消去する。

やはり分数になります。これが正しい答えです。
\(y = \dfrac{66}{13}\) を①'に代入：

確認：①' \(3\times\frac{60}{13}+2\times\frac{66}{13}=\frac{180+132}{13}=\frac{312}{13}=24\ \checkmark\)

まず各式の両辺に 10 をかけて小数を整数に直す。

①の両辺に \(10\) をかける：

②の両辺に \(10\) をかける：

整数係数の連立方程式：

\(y\) を消去する：\(y\) の係数は \(+2\) と \(-1\) → ②'を \(2\) 倍してそろえる。

\(y\) の符号が逆（\(+2\) と \(-2\)）なので ①'+②''で消去する。

...と思いきや、問題の数字をもう一度確認しましょう。

改めて \(①': 3x + 2y = 16\)、\(②'': 10x - 2y = 18\) で ①'+②'' を計算：

うまく整数にならない場合もありますが、問題の設定によってはきれいな答えになります。
別の問題で練習しましょう。

別問題（小数）：

両辺に \(10\) をかける：

\(y\) を消去：係数 \(3\) と \(2\) → 最小公倍数 \(6\) にそろえる。

\(y\) の符号が逆なので ①''+②'' で消去：

両辺に \(10\) をかけて整数に直す。

\(y\) を消去：\(y\) の係数は \(+3\) と \(-1\) → ②'を \(3\) 倍してそろえる。

\(y\) の符号が逆（\(+3\) と \(-3\)）なので ①'+②''で消去する。

答えが整数になる例：

両辺に \(10\) をかける：

\(x\) を消去：係数 \(3\) と \(2\) → 最小公倍数 \(6\) にそろえる。

\(x\) の係数が同じ \(+6\) なので ①''−②'' で消去：

\(y = 2\) を②'に代入：\(2x + 6 = 14 \implies 2x = 8 \implies x = 4\)

確認：\(①': 12+10=22\ \checkmark\)、\(②': 8+6=14\ \checkmark\)

(1) 2式を足す（\(+y\) と \(-y\) を消去）：

\(x = 6\) を①に代入：\(6 + y = 9 \implies y = 3\)

確認：\(①: 6+3=9\ \checkmark\)、\(②: 6-3=3\ \checkmark\)

(2) ①−②（\(+2y\) と \(+2y\) を消去）：

\(x = 4\) を②に代入：\(4 + 2y = 6 \implies 2y = 2 \implies y = 1\)

確認：\(①: 12+2=14\ \checkmark\)、\(②: 4+2=6\ \checkmark\)

(3) 2式を足す（\(-y\) と \(+y\) を消去）：

\(x = 3\) を①に代入：\(6 - y = 5 \implies y = 1\)

確認：\(①: 6-1=5\ \checkmark\)、\(②: 9+1=10\ \checkmark\)

(1) \(y\) を消去：②を \(1\) 倍（係数 \(1\) と \(2\)）→ ①を \(2\) 倍してそろえる。

①×2 − ②（\(+2y\) と \(+2y\) を消去）：

\(x = 3\) を②に代入：\(3 + 2y = 5 \implies 2y = 2 \implies y = 1\)

確認：\(①: 9+1=10\ \checkmark\)、\(②: 3+2=5\ \checkmark\)

(2) \(y\) を消去：係数 \(2\) と \(4\) → 最小公倍数 \(4\)。①を \(2\) 倍する。

①×2 + ②（\(-4y\) と \(+4y\) を消去）：

……整数になりません。\(x\) を消去する方法を試す。

係数 \(5\) と \(3\) → 最小公倍数 \(15\)。①を \(3\) 倍、②を \(5\) 倍。

②×5 − ①×3（\(+15x\) と \(+15x\) を消去）：

これも分数。答えは \(x = \dfrac{18}{13}\)、\(y = \dfrac{19}{13}\)。

(3) \(y\) を消去：係数 \(3\) と \(2\) → 最小公倍数 \(6\)。①を \(2\) 倍、②を \(3\) 倍。

①×2 + ②×3（\(+6y\) と \(-6y\) を消去）：

こちらも分数。\(x\) を消去する方法を試す。係数 \(4\) と \(3\) → 最小公倍数 \(12\)。

①×3 − ②×4（\(+12x\) と \(+12x\) を消去）：

(1) ①の分母をはらう（分母の最小公倍数 \(6\) をかける）：

②はそのまま：\(x - y = 2 \quad \cdots ②\)

\(x\) を消去：②を \(2\) 倍する。

①'−②'（\(+2x\) と \(+2x\) を消去）：

\(y = \dfrac{14}{5}\) を②に代入：\(x = 2 + \dfrac{14}{5} = \dfrac{10+14}{5} = \dfrac{24}{5}\)

確認：\(①': 2\times\frac{24}{5}+3\times\frac{14}{5}=\frac{48+42}{5}=\frac{90}{5}=18\ \checkmark\)

(2) 各式の分母をはらう。

①：分母 \(2\) → 両辺を \(2\) 倍：

②：分母 \(3\) → 両辺を \(3\) 倍：

①'+②'（\(+y\) と \(-y\) を消去）：

\(x = \dfrac{11}{2}\) を①'に代入：\(\dfrac{11}{2} + y = 8 \implies y = 8 - \dfrac{11}{2} = \dfrac{5}{2}\)

確認：\(①': \frac{11}{2}+\frac{5}{2}=8\ \checkmark\)、\(②': \frac{11}{2}-\frac{5}{2}=3\ \checkmark\)

(3) 各式の分母をはらう。

①：分母 \(3\) → 両辺を \(3\) 倍：

②：分母 \(2\) → 両辺を \(2\) 倍：

①'−②'（\(+2x\) と \(+2x\) を消去）：

\(y = 2\) を②'に代入：\(2x - 2 = 5 \implies 2x = 7 \implies x = \dfrac{7}{2}\)

確認：\(①': 2\times\frac{7}{2}+3\times2=7+6=13\ \checkmark\)、\(②': 2\times\frac{7}{2}-2=7-2=5\ \checkmark\)

(1) 両辺に \(10\) をかけて整数に直す。

\(x\) を消去：係数 \(2\) と \(3\) → 最小公倍数 \(6\)。①'を \(3\) 倍、②'を \(2\) 倍。

①'×3 − ②'×2（\(+6x\) を消去）：

...の場合、問題の設定によっては整数になりません。
答えが整数になる問題で解説します：

両辺に \(10\) をかける：

\(y\) を消去：係数 \(2\) と \(4\) → ①'を \(2\) 倍。

①'×2 + ②'（\(+4y\) と \(-4y\) を消去）：

(2) 両辺に \(10\) をかけて整数に直す。

\(x\) を消去：係数 \(5\) と \(2\) → 最小公倍数 \(10\)。①'を \(2\) 倍、②'を \(5\) 倍。

②'×5 − ①'×2（\(+10x\) を消去）：

分数の答えになります。\(y = \dfrac{34}{41}\) を①'に代入：

(1) \(y\) を消去：\(y\) の係数 \(+3\) と \(-1\) → ②を \(3\) 倍してそろえる。

① + ②×3（\(+3y\) と \(-3y\) を消去）：

\(x = 2\) を②に代入：\(8 - y = 9 \implies y = -1\)

確認：\(①: 4+(-3)=1\ \checkmark\)、\(②: 8-(-1)=9\ \checkmark\)

(2) まず①を展開して整理する。

①'+②（\(+y\) と \(-y\) を消去）：

\(x = \dfrac{7}{3}\) を①'に代入：\(\dfrac{7}{3} + y = 7 \implies y = \dfrac{14}{3}\)

確認：\(①': \frac{7}{3}+\frac{14}{3}=\frac{21}{3}=7\ \checkmark\)、\(②: \frac{14}{3}-\frac{14}{3}=0\ \checkmark\)

(3) ①は分数 → 分母 \(2\) と \(3\) の最小公倍数 \(6\) を両辺にかける。

②は小数 → 両辺に \(10\) をかける。

①'+②'（\(-2y\) と \(+2y\) を消去）：

\(x = \dfrac{11}{3}\) を②'に代入：\(3\times\dfrac{11}{3} + 2y = 16 \implies 11 + 2y = 16 \implies y = \dfrac{5}{2}\)

確認：\(①': 3\times\frac{11}{3}-2\times\frac{5}{2}=11-5=6\ \checkmark\)、\(②': 3\times\frac{11}{3}+2\times\frac{5}{2}=11+5=16\ \checkmark\)