連立方程式の解き方（代入法）
代入法とは
前の章では加減法（式を足したり引いたりして 1 文字を消去する方法）を学びました。
連立方程式を解くもう 1 つの方法が代入法です。
代入法とは
一方の式を「\(x = \cdots\)」または「\(y = \cdots\)」の形に変形し、
その式をもう一方の式に代入（あてはめ）することで 1 文字を消去する方法。
代入法が特に便利な場面
加減法でも代入法でも、どちらで解いても答えは同じです。
ただし、式の形によっては代入法の方がすばやく解けることがあります。
| 式の特徴 | 向いている方法 |
| どちらかの式が「\(x = \cdots\)」や「\(y = \cdots\)」の形になっている | 代入法 |
| どちらかの文字の係数が \(1\) または \(-1\) | 代入法（\(=\) の形に変形しやすい） |
| 係数がそろっていて整数どうし | 加減法・代入法どちらでも |
代入法が楽な場面
\(y = 2x + 1\) のように、すでに「\(y = \cdots\)」の形になっている式があれば、
そのままもう一方の式に代入できるので手間が少なくなります。
代入法の手順
\[ \begin{cases} y = 2x - 1 & \cdots ① \\ 3x + y = 9 & \cdots ② \end{cases} \]
Step 1：「\(\bigcirc = \cdots\)」の式を確認する
①がすでに「\(y = 2x - 1\)」の形になっている。
Step 2：もう一方の式に代入する
②の \(y\) のところに \(2x - 1\) をそのまま代入する。
\[ 3x + \underbrace{(2x - 1)}_{y = 2x-1} = 9 \]
\[ 3x + 2x - 1 = 9 \]
Step 3：1 文字の方程式を解く
\[ 5x = 10 \implies x = 2 \]
Step 4：求めた値を代入してもう一方を求める
\(x = 2\) を①に代入：
\[ y = 2 \times 2 - 1 = 3 \]
Step 5：確認（検算）
求めた解を元の 2 本の式の両方に代入して確かめる。
\[ ①：y = 2 \times 2 - 1 = 3 \quad \checkmark \]
\[ ②：3 \times 2 + 3 = 9 \quad \checkmark \]
\[ \therefore\quad x = 2,\quad y = 3 \]
代入するときはカッコをつける
\(y = 2x - 1\) を代入するとき、\(3x + 2x - 1\) ではなく
\(3x + \boldsymbol{(}2x - 1\boldsymbol{)}\) とカッコをつけてから展開する。
特に負の符号がある場合にカッコを忘れるとミスが起きやすい。
「\(y = \cdots\)」の形に変形する
式がすでに「\(y = \cdots\)」の形でなくても、移項して変形してから代入できます。
\[ \begin{cases} 2x + y = 7 & \cdots ① \\ x + 3y = 9 & \cdots ② \end{cases} \]
①を「\(y = \cdots\)」の形に変形する。
\[ y = 7 - 2x \quad \cdots ①' \]
①' を②に代入する。
\[ x + 3(7 - 2x) = 9 \]
\[ x + 21 - 6x = 9 \]
\[ -5x = -12 \implies x = \dfrac{12}{5} \]
\(x = \dfrac{12}{5}\) を①'に代入：
\[ y = 7 - 2 \times \dfrac{12}{5} = 7 - \dfrac{24}{5} = \dfrac{35 - 24}{5} = \dfrac{11}{5} \]
確認：\(①: 2\times\frac{12}{5}+\frac{11}{5}=\frac{24+11}{5}=\frac{35}{5}=7\ \checkmark\)
\[ \therefore\quad x = \dfrac{12}{5},\quad y = \dfrac{11}{5} \]
どちらの式を変形するか
係数が \(1\) または \(-1\) の文字が含まれている式を選ぶと、
分数が出にくく計算が楽になります。
例題
例題１：すでに「\(y = \cdots\)」の形がある
\[ \begin{cases} y = x + 3 & \cdots ① \\ 2x + y = 9 & \cdots ② \end{cases} \]
解答
①がすでに「\(y = x + 3\)」の形 → ②に代入する。
\[ 2x + (x + 3) = 9 \]
\[ 3x + 3 = 9 \implies 3x = 6 \implies x = 2 \]
\(x = 2\) を①に代入：
\[ y = 2 + 3 = 5 \]
確認：\(①: 5=2+3\ \checkmark\)、\(②: 4+5=9\ \checkmark\)
\[ \therefore\quad x = 2,\quad y = 5 \]
例題２：「\(x = \cdots\)」の形を代入する
\[ \begin{cases} x = 3y - 1 & \cdots ① \\ 2x + y = 12 & \cdots ② \end{cases} \]
解答
①が「\(x = 3y - 1\)」の形 → ②の \(x\) に代入する。
\[ 2(3y - 1) + y = 12 \]
\[ 6y - 2 + y = 12 \]
\[ 7y = 14 \implies y = 2 \]
\(y = 2\) を①に代入：
\[ x = 3 \times 2 - 1 = 5 \]
確認：\(①: 5=6-1\ \checkmark\)、\(②: 10+2=12\ \checkmark\)
\[ \therefore\quad x = 5,\quad y = 2 \]
例題３：変形してから代入する（係数が 1）
\[ \begin{cases} x + 2y = 8 & \cdots ① \\ 3x - y = 3 & \cdots ② \end{cases} \]
解答
①で \(x\) の係数が \(1\) → ①を「\(x = \cdots\)」の形に変形する。
\[ x = 8 - 2y \quad \cdots ①' \]
①' を②に代入する。
\[ 3(8 - 2y) - y = 3 \]
\[ 24 - 6y - y = 3 \]
\[ -7y = -21 \implies y = 3 \]
\(y = 3\) を①'に代入：
\[ x = 8 - 2 \times 3 = 2 \]
確認：\(①: 2+6=8\ \checkmark\)、\(②: 6-3=3\ \checkmark\)
\[ \therefore\quad x = 2,\quad y = 3 \]
例題４：変形してから代入する（係数が −1）
\[ \begin{cases} 2x - y = 5 & \cdots ① \\ 5x + 3y = 4 & \cdots ② \end{cases} \]
解答
①で \(y\) の係数が \(-1\) → ①を「\(y = \cdots\)」の形に変形する。
\[ -y = 5 - 2x \implies y = 2x - 5 \quad \cdots ①' \]
①' を②に代入する。
\[ 5x + 3(2x - 5) = 4 \]
\[ 5x + 6x - 15 = 4 \]
\[ 11x = 19 \implies x = \dfrac{19}{11} \]
\(x = \dfrac{19}{11}\) を①'に代入：
\[ y = 2 \times \dfrac{19}{11} - 5 = \dfrac{38}{11} - \dfrac{55}{11} = -\dfrac{17}{11} \]
確認：\(①: 2\times\frac{19}{11}-(-\frac{17}{11})=\frac{38+17}{11}=\frac{55}{11}=5\ \checkmark\)
\[ \therefore\quad x = \dfrac{19}{11},\quad y = -\dfrac{17}{11} \]
符号の変形に注意
\(-y = 5 - 2x\) から \(y = \cdots\) にするとき、両辺に \(-1\) をかけるので
\(y = -(5 - 2x) = -5 + 2x = 2x - 5\) となります。符号を間違えやすいので丁寧に！
例題５：分数を含む連立方程式
\[ \begin{cases} \dfrac{x}{2} + y = 5 & \cdots ① \\ 3x - 2y = 4 & \cdots ② \end{cases} \]
解答
先に①の分母をはらって整数係数に直す（両辺に \(2\) をかける）。
\[ x + 2y = 10 \quad \cdots ①' \]
①'を「\(x = \cdots\)」の形に変形：
\[ x = 10 - 2y \quad \cdots ①'' \]
①'' を②に代入：
\[ 3(10 - 2y) - 2y = 4 \]
\[ 30 - 6y - 2y = 4 \implies -8y = -26 \implies y = \dfrac{13}{4} \]
\(y = \dfrac{13}{4}\) を①''に代入：
\[ x = 10 - 2 \times \dfrac{13}{4} = 10 - \dfrac{13}{2} = \dfrac{20-13}{2} = \dfrac{7}{2} \]
確認：\(①': \frac{7}{2}+2\times\frac{13}{4}=\frac{7}{2}+\frac{13}{2}=\frac{20}{2}=10\ \checkmark\)
\[ \therefore\quad x = \dfrac{7}{2},\quad y = \dfrac{13}{4} \]
分数を含む式は先に整数に直す
分数のまま代入すると途中計算が複雑になりやすいです。
分母をはらって整数係数にしてから代入法を使う方が計算ミスを減らせます。
例題６：小数を含む連立方程式
\[ \begin{cases} 0.5x + y = 3.5 & \cdots ① \\ 2x - 3y = 1 & \cdots ② \end{cases} \]
解答
①を整数に直す（両辺に \(2\) をかける）：
\[ x + 2y = 7 \quad \cdots ①' \]
①'を「\(x = \cdots\)」の形に変形：
\[ x = 7 - 2y \quad \cdots ①'' \]
①'' を②に代入：
\[ 2(7 - 2y) - 3y = 1 \]
\[ 14 - 4y - 3y = 1 \]
\[ -7y = -13 \implies y = \dfrac{13}{7} \]
\(y = \dfrac{13}{7}\) を①''に代入：
\[ x = 7 - 2 \times \dfrac{13}{7} = \dfrac{49 - 26}{7} = \dfrac{23}{7} \]
確認：\(①': \frac{23}{7}+2\times\frac{13}{7}=\frac{23+26}{7}=\frac{49}{7}=7\ \checkmark\)
\[ \therefore\quad x = \dfrac{23}{7},\quad y = \dfrac{13}{7} \]
例題７：カッコがある連立方程式
\[ \begin{cases} 3(x - y) = x + 5 & \cdots ① \\ y = 2x - 7 & \cdots ② \end{cases} \]
解答
②がすでに「\(y = \cdots\)」の形 → まず①を展開・整理してから代入する。
①を展開する：
\[ 3x - 3y = x + 5 \implies 2x - 3y = 5 \quad \cdots ①' \]
①' に②（\(y = 2x - 7\)）を代入する：
\[ 2x - 3(2x - 7) = 5 \]
\[ 2x - 6x + 21 = 5 \]
\[ -4x = -16 \implies x = 4 \]
\(x = 4\) を②に代入：
\[ y = 2 \times 4 - 7 = 1 \]
確認：\(①: 3(4-1)=9=4+5\ \checkmark\)、\(②: 1=8-7\ \checkmark\)
\[ \therefore\quad x = 4,\quad y = 1 \]
加減法と代入法の使い分け
同じ連立方程式を両方の方法で解いてみて、比べてみましょう。
\[ \begin{cases} x + y = 5 & \cdots ① \\ 2x - y = 4 & \cdots ② \end{cases} \]
加減法で解く
①+②（\(+y\) と \(-y\) を消去）：
\[ 3x = 9 \implies x = 3 \]
\(x = 3\) を①に代入：\(y = 2\)
代入法で解く
①を「\(y = \cdots\)」の形に変形：
\[ y = 5 - x \quad \cdots ①' \]
①' を②に代入：
\[ 2x - (5 - x) = 4 \implies 3x = 9 \implies x = 3 \]
\(x = 3\) を①'に代入：\(y = 2\)
どちらも同じ答え \(x = 3,\ y = 2\) になります。
この問題では加減法の方が手順が少なく楽ですが、式の形によって変わります。
方法の選び方まとめ
- 「\(y = \cdots\)」「\(x = \cdots\)」の形がすでにある → 代入法
- どちらかの文字の係数が \(\pm 1\) → 代入法（変形が簡単）
- 係数がそろっている・整数どうし → 加減法の方が速いことが多い
- 判断に迷ったら どちらで解いても正解
練習問題
問１：基本の代入法
次の連立方程式を代入法で解け。
(1)
\[ \begin{cases} y = x - 2 \\ 2x + y = 7 \end{cases} \]
(2)
\[ \begin{cases} x = 4y + 1 \\ 3x - 2y = 13 \end{cases} \]
(3)
\[ \begin{cases} y = -3x + 5 \\ 4x + y = 6 \end{cases} \]
解答
(1) \(y = x - 2\) を \(2x + y = 7\) に代入：
\[ 2x + (x - 2) = 7 \implies 3x = 9 \implies x = 3 \]
\(x = 3\) を \(y = x - 2\) に代入：\(y = 1\)
確認：\(①: 1=3-2\ \checkmark\)、\(②: 6+1=7\ \checkmark\)
\[ \therefore\quad x = 3,\quad y = 1 \]
(2) \(x = 4y + 1\) を \(3x - 2y = 13\) に代入：
\[ 3(4y + 1) - 2y = 13 \]
\[ 12y + 3 - 2y = 13 \implies 10y = 10 \implies y = 1 \]
\(y = 1\) を \(x = 4y + 1\) に代入：\(x = 5\)
確認：\(①: 5=4+1\ \checkmark\)、\(②: 15-2=13\ \checkmark\)
\[ \therefore\quad x = 5,\quad y = 1 \]
(3) \(y = -3x + 5\) を \(4x + y = 6\) に代入：
\[ 4x + (-3x + 5) = 6 \implies x = 1 \]
\(x = 1\) を \(y = -3x + 5\) に代入：\(y = -3 + 5 = 2\)
確認：\(①: 2=-3+5\ \checkmark\)、\(②: 4+2=6\ \checkmark\)
\[ \therefore\quad x = 1,\quad y = 2 \]
問２：変形してから代入
次の連立方程式を代入法で解け。
(1)
\[ \begin{cases} x - y = 3 \\ 4x + 3y = 5 \end{cases} \]
(2)
\[ \begin{cases} 3x + y = 11 \\ 2x - 5y = 4 \end{cases} \]
(3)
\[ \begin{cases} -x + 2y = 6 \\ 3x - y = 4 \end{cases} \]
解答
(1) ①を「\(x = \cdots\)」の形に変形：\(x = y + 3 \quad \cdots ①'\)
①' を②に代入：
\[ 4(y + 3) + 3y = 5 \implies 4y + 12 + 3y = 5 \implies 7y = -7 \implies y = -1 \]
\(y = -1\) を①'に代入：\(x = -1 + 3 = 2\)
確認：\(①: 2-(-1)=3\ \checkmark\)、\(②: 8+(-3)=5\ \checkmark\)
\[ \therefore\quad x = 2,\quad y = -1 \]
(2) ①を「\(y = \cdots\)」の形に変形：\(y = 11 - 3x \quad \cdots ①'\)
①' を②に代入：
\[ 2x - 5(11 - 3x) = 4 \]
\[ 2x - 55 + 15x = 4 \implies 17x = 59 \implies x = \dfrac{59}{17} \]
\(x = \dfrac{59}{17}\) を①'に代入：
\[ y = 11 - 3 \times \dfrac{59}{17} = \dfrac{187 - 177}{17} = \dfrac{10}{17} \]
確認：\(①: 3\times\frac{59}{17}+\frac{10}{17}=\frac{177+10}{17}=\frac{187}{17}=11\ \checkmark\)
\[ \therefore\quad x = \dfrac{59}{17},\quad y = \dfrac{10}{17} \]
(3) ①を「\(x = \cdots\)」の形に変形：
\[ -x = 6 - 2y \implies x = 2y - 6 \quad \cdots ①' \]
①' を②に代入：
\[ 3(2y - 6) - y = 4 \]
\[ 6y - 18 - y = 4 \implies 5y = 22 \implies y = \dfrac{22}{5} \]
\(y = \dfrac{22}{5}\) を①'に代入：
\[ x = 2 \times \dfrac{22}{5} - 6 = \dfrac{44}{5} - \dfrac{30}{5} = \dfrac{14}{5} \]
確認：\(①: -\frac{14}{5}+2\times\frac{22}{5}=\frac{-14+44}{5}=\frac{30}{5}=6\ \checkmark\)
\[ \therefore\quad x = \dfrac{14}{5},\quad y = \dfrac{22}{5} \]
問３：分数を含む連立方程式
次の連立方程式を代入法で解け。
(1)
\[ \begin{cases} \dfrac{x}{3} + y = 4 \\[6pt] 2x - y = 2 \end{cases} \]
(2)
\[ \begin{cases} x - \dfrac{y}{2} = 3 \\[6pt] 3x + 2y = 8 \end{cases} \]
(3)
\[ \begin{cases} \dfrac{x - 1}{2} = y \\[6pt] x + 3y = 11 \end{cases} \]
解答
(1) ①の分母をはらう（両辺に \(3\) をかける）：
\[ x + 3y = 12 \quad \cdots ①' \]
①'を「\(x = \cdots\)」の形に変形：
\[ x = 12 - 3y \quad \cdots ①'' \]
①'' を②に代入：
\[ 2(12 - 3y) - y = 2 \]
\[ 24 - 6y - y = 2 \implies -7y = -22 \implies y = \dfrac{22}{7} \]
\(y = \dfrac{22}{7}\) を①''に代入：
\[ x = 12 - 3 \times \dfrac{22}{7} = \dfrac{84 - 66}{7} = \dfrac{18}{7} \]
確認：\(①': \frac{18}{7}+3\times\frac{22}{7}=\frac{18+66}{7}=\frac{84}{7}=12\ \checkmark\)
\[ \therefore\quad x = \dfrac{18}{7},\quad y = \dfrac{22}{7} \]
(2) ①の分母をはらう（両辺に \(2\) をかける）：
\[ 2x - y = 6 \quad \cdots ①' \]
①'を「\(y = \cdots\)」の形に変形：
\[ y = 2x - 6 \quad \cdots ①'' \]
①'' を②に代入：
\[ 3x + 2(2x - 6) = 8 \]
\[ 3x + 4x - 12 = 8 \implies 7x = 20 \implies x = \dfrac{20}{7} \]
\(x = \dfrac{20}{7}\) を①''に代入：
\[ y = 2 \times \dfrac{20}{7} - 6 = \dfrac{40}{7} - \dfrac{42}{7} = -\dfrac{2}{7} \]
確認：\(①': 2\times\frac{20}{7}-(-\frac{2}{7})=\frac{40+2}{7}=\frac{42}{7}=6\ \checkmark\)
\[ \therefore\quad x = \dfrac{20}{7},\quad y = -\dfrac{2}{7} \]
(3) ①の分母をはらう（両辺に \(2\) をかける）：
\[ x - 1 = 2y \implies x = 2y + 1 \quad \cdots ①' \]
①' を②に代入：
\[ (2y + 1) + 3y = 11 \]
\[ 5y = 10 \implies y = 2 \]
\(y = 2\) を①'に代入：\(x = 4 + 1 = 5\)
確認：\(①: \frac{5-1}{2}=\frac{4}{2}=2\ \checkmark\)、\(②: 5+6=11\ \checkmark\)
\[ \therefore\quad x = 5,\quad y = 2 \]
問４：小数を含む連立方程式
次の連立方程式を代入法で解け。
(1)
\[ \begin{cases} y = 0.5x - 1 \\ 3x + 2y = 10 \end{cases} \]
(2)
\[ \begin{cases} 0.4x - y = 0.6 \\ x + 3y = 6 \end{cases} \]
解答
(1) ①の小数を整数に直す（両辺に \(2\) をかける）：
\[ 2y = x - 2 \implies x = 2y + 2 \quad \cdots ①' \]
①' を②に代入：
\[ 3(2y + 2) + 2y = 10 \]
\[ 6y + 6 + 2y = 10 \implies 8y = 4 \implies y = \dfrac{1}{2} \]
\(y = \dfrac{1}{2}\) を①'に代入：\(x = 1 + 2 = 3\)
確認：\(①: 0.5\times3-1=0.5=\frac{1}{2}\ \checkmark\)、\(②: 9+1=10\ \checkmark\)
\[ \therefore\quad x = 3,\quad y = \dfrac{1}{2} \]
(2) ①の小数を整数に直す（両辺に \(10\) をかける）：
\[ 4x - 10y = 6 \implies 2x - 5y = 3 \quad \cdots ①' \]
②を「\(x = \cdots\)」の形に変形：
\[ x = 6 - 3y \quad \cdots ②' \]
②' を①'に代入：
\[ 2(6 - 3y) - 5y = 3 \]
\[ 12 - 6y - 5y = 3 \implies -11y = -9 \implies y = \dfrac{9}{11} \]
\(y = \dfrac{9}{11}\) を②'に代入：
\[ x = 6 - 3 \times \dfrac{9}{11} = \dfrac{66 - 27}{11} = \dfrac{39}{11} \]
確認：\(②: \frac{39}{11}+3\times\frac{9}{11}=\frac{39+27}{11}=\frac{66}{11}=6\ \checkmark\)
\[ \therefore\quad x = \dfrac{39}{11},\quad y = \dfrac{9}{11} \]
問５：いろいろな連立方程式（方法は自由）
次の連立方程式を解け。加減法・代入法のどちらを使ってもよい。
(1)
\[ \begin{cases} 2x + 3y = 13 \\ y = 4x - 1 \end{cases} \]
(2)
\[ \begin{cases} 4x - 3y = 10 \\ 2x + y = 0 \end{cases} \]
(3)（発展）
\[ \begin{cases} \dfrac{x-2}{3} + \dfrac{y+1}{2} = 1 \\[6pt] x + y = 3 \end{cases} \]
解答
(1) ②がすでに「\(y = \cdots\)」の形 → 代入法
\(y = 4x - 1\) を①に代入：
\[ 2x + 3(4x - 1) = 13 \]
\[ 2x + 12x - 3 = 13 \implies 14x = 16 \implies x = \dfrac{8}{7} \]
\(x = \dfrac{8}{7}\) を②に代入：
\[ y = 4 \times \dfrac{8}{7} - 1 = \dfrac{32}{7} - \dfrac{7}{7} = \dfrac{25}{7} \]
確認：\(①: 2\times\frac{8}{7}+3\times\frac{25}{7}=\frac{16+75}{7}=\frac{91}{7}=13\ \checkmark\)
\[ \therefore\quad x = \dfrac{8}{7},\quad y = \dfrac{25}{7} \]
(2) \(y\) の係数が \(+1\) → 代入法
②を「\(y = \cdots\)」の形に変形：
\[ y = -2x \quad \cdots ②' \]
②' を①に代入：
\[ 4x - 3(-2x) = 10 \implies 4x + 6x = 10 \implies 10x = 10 \implies x = 1 \]
\(x = 1\) を②'に代入：\(y = -2\)
確認：\(①: 4-3\times(-2)=4+6=10\ \checkmark\)、\(②: 2+(-2)=0\ \checkmark\)
\[ \therefore\quad x = 1,\quad y = -2 \]
(3)（発展） ①の分母をはらう（分母の最小公倍数 \(6\) を両辺にかける）：
\[ 2(x - 2) + 3(y + 1) = 6 \]
\[ 2x - 4 + 3y + 3 = 6 \implies 2x + 3y = 7 \quad \cdots ①' \]
②を「\(x = \cdots\)」の形に変形：
\[ x = 3 - y \quad \cdots ②' \]
②' を①'に代入：
\[ 2(3 - y) + 3y = 7 \]
\[ 6 - 2y + 3y = 7 \implies y = 1 \]
\(y = 1\) を②'に代入：\(x = 3 - 1 = 2\)
確認：\(①: \frac{2-2}{3}+\frac{1+1}{2}=0+1=1\ \checkmark\)、\(②: 2+1=3\ \checkmark\)
\[ \therefore\quad x = 2,\quad y = 1 \]
まとめ
代入法の手順
| ステップ | やること |
| ① 前処理 | 分数は分母をはらう、小数は10倍して整数にする |
| ② 変形する | どちらかの式を「\(x = \cdots\)」または「\(y = \cdots\)」の形にする |
| ③ 代入する | 変形した式をもう一方の式に代入する（カッコをつける！） |
| ④ 1文字を解く | 1文字の方程式を解く |
| ⑤ もう1文字を求める | 求めた値を変形した式に代入する |
| ⑥ 確認する | 元の2本の式に両方代入して確かめる |
代入法が有利な場面
- 「\(y = \cdots\)」「\(x = \cdots\)」の形がすでにある
- どちらかの文字の係数が \(1\) または \(-1\)（変形が簡単）
よくある間違い
- カッコをつけ忘れる：\(y = 2x - 1\) を代入するとき、\(3x + 2x - 1\)（❌） → \(3x + (2x - 1)\)（✅）
- 符号の変形ミス：\(-y = 3 - x\) → \(y = x - 3\)（両辺に \(-1\) をかけて符号をすべて逆にする）
- 代入する式と代入される式を混同する：変形した式（①'）はもう一方の式（②）に代入する
- 確認を 1 本だけで済ませる：必ず元の 2 本とも確認する