連立方程式の文章題（速さ）¶

はじめに：速さの公式を復習しよう¶

速さ・道のり・時間の問題は小学校で学びましたが、忘れている人も多いので、まず復習しましょう。

基本の 3 つの公式¶

速さ・道のり・時間の関係は、次の 1 つの式に集約されます。

\[ \text{道のり} = \text{速さ} \times \text{時間} \]

この式を変形すると、3 つの公式が得られます。

速さ・道のり・時間の公式

\[ \boxed{\text{道のり} = \text{速さ} \times \text{時間}} \]

\[ \boxed{\text{速さ} = \frac{\text{道のり}}{\text{時間}}} \]

\[ \boxed{\text{時間} = \frac{\text{道のり}}{\text{速さ}}} \]

「みはじ」の図で覚える¶

「み（道のり）・は（速さ）・じ（時間）」の図を使うと、どれを求めるかに応じた式がすぐにわかります。

      み
   ───────
   は ｜ じ

みを求めたい → \(\text{み} = \text{は} \times \text{じ}\)
はを求めたい → \(\text{は} = \text{み} \div \text{じ}\)
じを求めたい → \(\text{じ} = \text{み} \div \text{は}\)

具体例で確認¶

例① 時速 \(4\) km で \(3\) 時間歩いた。道のりは？

\[ \text{道のり} = 4 \times 3 = 12 \text{ km} \]

例② \(15\) km の道のりを \(3\) 時間かけて移動した。速さは？

\[ \text{速さ} = \frac{15}{3} = 5 \text{ km/h} \]

例③ 時速 \(6\) km で \(9\) km 進んだ。かかった時間は？

\[ \text{時間} = \frac{9}{6} = 1.5 \text{ 時間} = 90 \text{ 分} \]

単位に気をつけよう¶

速さの問題では単位をそろえることが最重要です。

単位のそろえ方

速さが「km/h（時速）」なら、時間は「時間」、道のりは「km」
速さが「m/分（分速）」なら、時間は「分」、道のりは「m」

分を時間に直す：\(\text{○分} = \dfrac{\text{○}}{60} \text{ 時間}\)

例：\(30\) 分 \(= \dfrac{30}{60} = \dfrac{1}{2}\) 時間、\(45\) 分 \(= \dfrac{45}{60} = \dfrac{3}{4}\) 時間

速さの問題で立てる等式¶

条件の種類	立てる等式
道のりが等しい	\(\text{速さ}_A \times \text{時間}_A = \text{速さ}_B \times \text{時間}_B\)
道のりの合計がわかる	\(\text{道のり}_A + \text{道のり}_B = \text{合計}\)
時間の合計がわかる	\(\dfrac{\text{道のり}_A}{\text{速さ}_A} + \dfrac{\text{道のり}_B}{\text{速さ}_B} = \text{合計時間}\)
時間の差がわかる	\(\dfrac{\text{道のり}_A}{\text{速さ}_A} - \dfrac{\text{道のり}_B}{\text{速さ}_B} = \text{時間差}\)

連立方程式を使う速さの問題¶

速さの問題で使う文字の置き方¶

何が未知か	置き方
2 区間の道のりが不明	それぞれを \(x\) km、\(y\) km とおく
2 つの速さが不明	それぞれを \(x\) km/h、\(y\) km/h とおく
2 人の速さが不明	それぞれを \(x\) m/分、\(y\) m/分とおく

例題¶

例題１：2 区間の道のりを求める¶

家から学校まで、はじめは時速 \(4\) km で歩き、途中から時速 \(12\) km で自転車に乗り換えた。
合計の道のりは \(16\) km で、かかった時間は全部で \(2\) 時間だった。
歩いた道のりと自転車に乗った道のりをそれぞれ求めよ。

解答

① \(x\)、\(y\) を決める

歩いた道のりを \(x\) km、自転車に乗った道のりを \(y\) km とおく。

② 等しい関係を 2 つ見つける

道のりの合計：\(x + y = 16\)
時間の合計：（歩いた時間）＋（自転車の時間）＝ 2 時間

\[ \frac{x}{4} + \frac{y}{12} = 2 \]

③ 連立方程式を立てる

\[ \begin{cases} x + y = 16 & \cdots ① \\ \dfrac{x}{4} + \dfrac{y}{12} = 2 & \cdots ② \end{cases} \]

④ 解く

②の両辺に \(12\) をかけて分母をはらう：

\[ 3x + y = 24 \quad \cdots ②' \]

②'−①（\(y\) を消去）：

\[ \begin{aligned} &\quad 3x + y = 24 \\ -)\quad &\quad x + y = 16 \\ \hline &\quad 2x = 8 \end{aligned} \]

\[ x = 4 \]

\(x = 4\) を①に代入：\(y = 12\)

⑤ 確認して答える

道のり合計：\(4 + 12 = 16\) km ✅
時間合計：\(\dfrac{4}{4} + \dfrac{12}{12} = 1 + 1 = 2\) 時間 ✅

答え：歩いた道のり \(4\) km、自転車の道のり \(12\) km

時間の式を作るポイント

「時間 \(=\) 道のり \(\div\) 速さ」なので、
歩いた時間は \(\dfrac{x}{4}\)、自転車の時間は \(\dfrac{y}{12}\) と表せる。

例題２：川の流れがある問題¶

静水上での速さが一定のボートで、川を上り下りした。
上りは \(24\) km 進むのに \(6\) 時間かかり、同じ \(24\) km を下るのに \(4\) 時間かかった。
このボートの静水上での速さと、川の流れの速さをそれぞれ求めよ。

解答

① \(x\)、\(y\) を決める

ボートの静水上での速さを \(x\) km/h、川の流れの速さを \(y\) km/h とおく。

\[ \text{上りの速さ} = x - y \qquad \text{下りの速さ} = x + y \]

川の流れと速さの関係

上り（流れに逆らう）：ボートの速さ − 流れの速さ \(= x - y\)
下り（流れに乗る）：ボートの速さ＋流れの速さ \(= x + y\)

② 等しい関係を 2 つ見つける

道のり \(=\) 速さ \(\times\) 時間より：

上り：\((x - y) \times 6 = 24\)
下り：\((x + y) \times 4 = 24\)

③ 連立方程式を立てる

各式を整理する。

\[ \begin{cases} x - y = 4 & \cdots ① \\ x + y = 6 & \cdots ② \end{cases} \]

④ 解く

①+②（\(y\) を消去）：

\[ 2x = 10 \implies x = 5 \]

\(x = 5\) を②に代入：\(y = 1\)

⑤ 確認して答える

上り速さ：\(5 - 1 = 4\) km/h、\(24\) km を \(\dfrac{24}{4} = 6\) 時間 ✅
下り速さ：\(5 + 1 = 6\) km/h、\(24\) km を \(\dfrac{24}{6} = 4\) 時間 ✅

答え：ボートの静水上の速さ \(5\) km/h、川の流れの速さ \(1\) km/h

例題３：追いつく問題¶

A さんが歩いて家を出発した。A さんが出発してから \(10\) 分後に、B さんが自転車で同じ道を追いかけた。
B さんは出発してから \(40\) 分後に A さんに追いついた。
A さんの歩く速さは B さんの自転車の速さより \(4\) km/h 遅い。
A さんと B さんの速さをそれぞれ求めよ。

解答

① \(x\)、\(y\) を決める

A さんの速さを \(x\) km/h、B さんの速さを \(y\) km/h とおく。

② 等しい関係を 2 つ見つける

B さんが追いついた瞬間、2 人は同じ場所にいる → 2 人の道のりが等しい。

A さんが歩いた時間：B さんより \(10\) 分早く出発 → \(10 + 40 = 50\) 分 \(= \dfrac{50}{60} = \dfrac{5}{6}\) 時間
B さんが走った時間：\(40\) 分 \(= \dfrac{40}{60} = \dfrac{2}{3}\) 時間

\[ x \times \frac{5}{6} = y \times \frac{2}{3} \]

速さの差：B さんは A さんより \(4\) km/h 速い

\[ y - x = 4 \]

③ 連立方程式を立てる

1 つ目の式を整理する（両辺を \(6\) 倍）：

\[ 5x = 4y \quad \cdots ① \]

\[ \begin{cases} 5x = 4y & \cdots ① \\ y - x = 4 & \cdots ② \end{cases} \]

④ 解く

②より \(y = x + 4\) を①に代入：

\[ 5x = 4(x + 4) \implies 5x = 4x + 16 \implies x = 16 \]

\(x = 16\) を②に代入：\(y = 20\)

⑤ 確認して答える

A さんの道のり：\(16 \times \dfrac{5}{6} = \dfrac{80}{6} = \dfrac{40}{3}\) km
B さんの道のり：\(20 \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{40}{3}\) km ✅（道のりが等しい）
速さの差：\(20 - 16 = 4\) km/h ✅

答え：A さん \(16\) km/h、B さん \(20\) km/h

追いつく問題のポイント

追いついた瞬間の2 人の道のりは等しい。
それぞれの時間を正確に計算してから式を立てる。

	出発	B が出発してから追いつくまで	合計時間
A	B より 10 分早い	40 分	50 分
B	―	40 分	40 分

例題４：出会う問題¶

A 地点と B 地点は \(36\) km 離れている。
A さんは A 地点から、B さんは B 地点から、同時に向かい合って出発した。
\(3\) 時間後に 2 人は出会った。A さんの速さは B さんの速さより \(2\) km/h 速い。
2 人の速さをそれぞれ求めよ。

解答

① \(x\)、\(y\) を決める

A さんの速さを \(x\) km/h、B さんの速さを \(y\) km/h とおく。

② 等しい関係を 2 つ見つける

向かい合って進んだ 2 人が出会うとき、2 人の道のりの合計 \(=\) 2 地点間の距離。

道のりの合計：\(3x + 3y = 36\)
速さの差：\(x - y = 2\)

③ 連立方程式を立てる

1 つ目の式を \(3\) で割る：

\[ \begin{cases} x + y = 12 & \cdots ① \\ x - y = 2 & \cdots ② \end{cases} \]

④ 解く

①+②（\(y\) を消去）：

\[ 2x = 14 \implies x = 7 \]

\(x = 7\) を①に代入：\(y = 5\)

⑤ 確認して答える

3 時間で進む合計距離：\(3\times7 + 3\times5 = 21 + 15 = 36\) km ✅
速さの差：\(7 - 5 = 2\) km/h ✅

答え：A さん \(7\) km/h、B さん \(5\) km/h

出会う問題のポイント

向かい合って進むとき、2 人の道のりの合計が 2 地点間の距離になる。

\[ (\text{A の道のり}) + (\text{B の道のり}) = (\text{2 地点間の距離}) \]

追いかける問題とは逆で、「道のりの合計」で式を立てる。

例題５：往復で速さが違う問題¶

A 地点から B 地点まで行きは時速 \(40\) km、帰りは時速 \(30\) km で移動した。
帰りは行きより \(15\) 分長くかかり、往復の合計時間は \(1\) 時間 \(45\) 分だった。
A 地点から B 地点までの道のりを求めよ。

解答

① \(x\) を決める

A 地点から B 地点までの道のりを \(x\) km とおく。

「道のりが 1 つ」の場合は 1 文字でもよい

往復なので道のりは同じ \(x\) km。
未知数が実質 1 つなので、連立方程式でなく 1 元の方程式でも解けますが、
ここでは時間を \(y\) とおく 2 文字での解き方も示します。

2 文字を使う解き方

行きの時間を \(t_1\) 時間、帰りの時間を \(t_2\) 時間とおく。

行き：\(40 t_1 = x\) より \(t_1 = \dfrac{x}{40}\)
帰り：\(30 t_2 = x\) より \(t_2 = \dfrac{x}{30}\)

② 等しい関係を 2 つ見つける

往復の合計時間：\(1\) 時間 \(45\) 分 \(= \dfrac{7}{4}\) 時間

\[ t_1 + t_2 = \frac{7}{4} \]

帰りは行きより \(15\) 分 \(= \dfrac{1}{4}\) 時間長い：

\[ t_2 - t_1 = \frac{1}{4} \]

③ 連立方程式を立てる

\[ \begin{cases} t_1 + t_2 = \dfrac{7}{4} & \cdots ① \\[6pt] t_2 - t_1 = \dfrac{1}{4} & \cdots ② \end{cases} \]

④ 解く

①+②（\(t_1\) を消去）：

\[ 2t_2 = 2 \implies t_2 = 1 \text{ 時間} \]

①−②（\(t_2\) を消去）：

\[ 2t_1 = \frac{3}{2} \implies t_1 = \frac{3}{4} \text{ 時間} = 45 \text{ 分} \]

道のりを求める：

\[ x = 40 \times \frac{3}{4} = 30 \text{ km} \]

⑤ 確認して答える

行き：\(30\) km を時速 \(40\) km で \(\dfrac{30}{40} = \dfrac{3}{4}\) 時間 \(= 45\) 分 ✅
帰り：\(30\) km を時速 \(30\) km で \(\dfrac{30}{30} = 1\) 時間 \(= 60\) 分 ✅
往復合計：\(45 + 60 = 105\) 分 \(= 1\) 時間 \(45\) 分 ✅
帰りは行きより \(60 - 45 = 15\) 分長い ✅

答え：\(30\) km

速さの文章題でよくある間違い¶

間違い①：分と時間を混ぜて計算する¶

「30 分」を「0.3 時間」と書いてしまうミスです。

✅ 対策：時間に直すときは \(\div 60\) する。\(30 \div 60 = 0.5\) 時間。

間違い②：道のりの式と時間の式を混同する¶

求めるもの	立てる式
道のり	速さ \(\times\) 時間
時間	道のり \(\div\) 速さ

どちらを等しいとおくかを間違えると、式が成り立ちません。

✅ 対策：「何が等しいのか」（道のりが等しい？時間が等しい？）を先に確認してから式を立てる。

間違い③：「追いつく」と「出会う」の混同¶

問題の種類	2 人の関係	立てる式
追いつく	同じ方向に進み、道のりが等しくなる	\(\text{道のり}_A = \text{道のり}_B\)
出会う	向かい合って進み、合計が 2 地点間の距離	\(\text{道のり}_A + \text{道のり}_B = \text{距離}\)

間違い④：川の問題で上りと下りの式を逆にする¶

川の流れが \(v\) km/h のとき：

上り（流れに逆らう）：\(\text{実際の速さ} = x \boldsymbol{-} v\)（遅くなる）
下り（流れに乗る）：\(\text{実際の速さ} = x \boldsymbol{+} v\)（速くなる）

✅ 対策：「上りは川に逆らうから遅い」と覚える。

練習問題¶

問１：2 区間の道のりを求める¶

家から図書館まで、はじめは時速 \(4\) km で歩き、途中から時速 \(10\) km で走った。
合計の道のりは \(2.6\) km で、かかった時間は合計 \(30\) 分だった。
歩いた道のりと走った道のりをそれぞれ求めよ。

解答

歩いた道のりを \(x\) km、走った道のりを \(y\) km とおく。

\(30\) 分 \(= \dfrac{1}{2}\) 時間に直す。

\[ \begin{cases} x + y = 2.6 & \cdots ① \\ \dfrac{x}{4} + \dfrac{y}{10} = \dfrac{1}{2} & \cdots ② \end{cases} \]

②の両辺に \(20\) をかけて分母をはらう：

\[ 5x + 2y = 10 \quad \cdots ②' \]

①×2：\(2x + 2y = 5.2 \quad \cdots ①'\)

②'−①'（\(2y\) を消去）：

\[ 3x = 4.8 \implies x = 1.6 \]

\(x = 1.6\) を①に代入：\(y = 1.0\)

確認：道のり \(1.6+1.0=2.6\) km ✅、時間 \(\dfrac{1.6}{4}+\dfrac{1.0}{10}=0.4+0.1=0.5\) 時間 \(=30\) 分 ✅

答え：歩いた道のり \(1.6\) km、走った道のり \(1.0\) km

問２：川の流れがある問題¶

あるボートで川を上り下りした。
上りは \(24\) km 進むのに \(4\) 時間かかり、同じ \(24\) km を下るのに \(3\) 時間かかった。
このボートの静水上での速さと、川の流れの速さをそれぞれ求めよ。

解答

ボートの静水上での速さを \(x\) km/h、川の流れの速さを \(y\) km/h とおく。

上りの速さ \(= x - y\)：\((x-y) \times 4 = 24 \implies x - y = 6\)
下りの速さ \(= x + y\)：\((x+y) \times 3 = 24 \implies x + y = 8\)

\[ \begin{cases} x - y = 6 & \cdots ① \\ x + y = 8 & \cdots ② \end{cases} \]

①+②：\(2x = 14 \implies x = 7\)

\(x = 7\) を②に代入：\(y = 1\)

確認：上り \(7-1=6\) km/h で \(24\) km → \(4\) 時間 ✅、下り \(7+1=8\) km/h で \(24\) km → \(3\) 時間 ✅

答え：静水上の速さ \(7\) km/h、流れの速さ \(1\) km/h

問３：出会う問題¶

A 地点と B 地点は \(36\) km 離れている。
A さんは A 地点から、B さんは B 地点から同時に向かい合って出発した。
\(3\) 時間後に出会い、A さんの速さは B さんより \(2\) km/h 速かった。
2 人の速さをそれぞれ求めよ。

解答

A さんの速さを \(x\) km/h、B さんの速さを \(y\) km/h とおく。

道のりの合計：\(3x + 3y = 36 \implies x + y = 12\)
速さの差：\(x - y = 2\)

\[ \begin{cases} x + y = 12 & \cdots ① \\ x - y = 2 & \cdots ② \end{cases} \]

①+②：\(2x = 14 \implies x = 7\)

\(x = 7\) を①に代入：\(y = 5\)

確認：合計距離 \(3\times7+3\times5=21+15=36\) km ✅、速さの差 \(7-5=2\) km/h ✅

答え：A さん \(7\) km/h、B さん \(5\) km/h

問４：追いつく問題¶

A さんが毎分 \(45\) m で先に出発した。A さんが出発してから \(8\) 分後に、B さんが毎分 \(x\) m で同じ道を追いかけた。
B さんが出発してから \(12\) 分後に A さんに追いついた。
B さんの速さを求めよ。また、追いついた地点は出発点から何 m か求めよ。

解答

B さんの速さを \(y\) m/分、追いついた地点を出発点から \(d\) m とおく。

追いついた瞬間、2 人の道のり（\(d\)）は等しい。

A さんが歩いた時間：\(8 + 12 = 20\) 分
B さんが歩いた時間：\(12\) 分

\[ \begin{cases} d = 45 \times 20 & \cdots ① \\ d = y \times 12 & \cdots ② \end{cases} \]

①より \(d = 900\) m

②より \(y = \dfrac{900}{12} = 75\) m/分

確認：A さん \(45\times20=900\) m ✅、B さん \(75\times12=900\) m ✅

答え：B さんの速さ \(75\) m/分、追いついた地点は出発点から \(900\) m

問５：往復で速さが異なる問題¶

A 地点から B 地点まで行きは時速 \(x\) km、帰りは時速 \(y\) km で移動した。
2 地点間の距離は \(120\) km で、往復の合計時間は \(5\) 時間、行きは帰りより \(1\) 時間多くかかった。
行きと帰りの速さをそれぞれ求めよ。

解答

行きの速さを \(x\) km/h、帰りの速さを \(y\) km/h とおく。

往復の合計時間が \(5\) 時間：

\[ \frac{120}{x} + \frac{120}{y} = 5 \quad \cdots ① \]

行きは帰りより \(1\) 時間多い：

\[ \frac{120}{x} - \frac{120}{y} = 1 \quad \cdots ② \]

①と②を足す（\(\dfrac{120}{y}\) を消去）：

\[ \frac{240}{x} = 6 \implies x = 40 \]

①から②を引く（\(\dfrac{120}{x}\) を消去）：

\[ \frac{240}{y} = 4 \implies y = 60 \]

確認：行き \(\dfrac{120}{40}=3\) 時間、帰り \(\dfrac{120}{60}=2\) 時間、合計 \(5\) 時間 ✅、差 \(1\) 時間 ✅

答え：行きの速さ \(40\) km/h、帰りの速さ \(60\) km/h

速さが未知の往復問題

\(\dfrac{120}{x}\) や \(\dfrac{120}{y}\) のような「道のり \(\div\) 速さ（\(=\) 時間）」の式が出てくるとき、
足したり引いたりして直接消去できる場合がある。
\(\dfrac{1}{x}\) の形のまま計算しても解けることを覚えておこう。

問６（発展）：2 区間の速さを求める¶

A さんは \(P\) 地点から \(R\) 地点まで移動した。
途中の \(Q\) 地点まで時速 \(5\) km で歩き、Q 地点から R 地点まで時速 \(15\) km で走った。
P から R までの道のりは \(20\) km で、かかった時間は \(2\) 時間だった。
PQ 間と QR 間の道のりをそれぞれ求めよ。
また、Q を通過した時刻は P を出発してから何分後か求めよ。

解答

道のりを求める

PQ 間の道のりを \(x\) km、QR 間の道のりを \(y\) km とおく。

\[ \begin{cases} x + y = 20 & \cdots ① \\ \dfrac{x}{5} + \dfrac{y}{15} = 2 & \cdots ② \end{cases} \]

②の両辺に \(15\) をかける：

\[ 3x + y = 30 \quad \cdots ②' \]

②'−①（\(y\) を消去）：

\[ 2x = 10 \implies x = 5 \]

\(x = 5\) を①に代入：\(y = 15\)

確認：道のり \(5+15=20\) km ✅、時間 \(\dfrac{5}{5}+\dfrac{15}{15}=1+1=2\) 時間 ✅

Q を通過した時刻

PQ 間にかかった時間：\(\dfrac{5}{5} = 1\) 時間 \(= 60\) 分

答え：PQ 間 \(5\) km、QR 間 \(15\) km、出発から \(60\) 分後

まとめ¶

速さ・道のり・時間の公式

\[ \text{道のり} = \text{速さ} \times \text{時間} \qquad \text{速さ} = \frac{\text{道のり}}{\text{時間}} \qquad \text{時間} = \frac{\text{道のり}}{\text{速さ}} \]

問題の種類と立てる式

問題の種類	2 本の等式のヒント
2 区間の道のり	道のりの合計、時間の合計
川の流れ	上りの道のり＝速さ×時間、下りの道のり＝速さ×時間
追いつく	2 人の道のりが等しい、時間差
出会う	2 人の道のりの合計＝2 地点間の距離、速さの差
往復で速さが違う	時間の合計、時間の差

よくある間違い

分と時間を混ぜる：分 \(\div 60\) = 時間（\(30\) 分 \(= 0.5\) 時間）
道のりの式と時間の式を逆にする：「時間 \(=\) 道のり \(\div\) 速さ」
追いつくと出会うを混同する：追いつく → 道のりが等しい、出会う → 道のりの合計
川の上りと下りを逆にする：上りは流れに逆らうので速さが小さくなる（\(x - v\)）