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連立方程式の文章題（割合）

はじめに：割合を復習しよう

割合の問題は小学校で学びましたが、パーセントや「もとにする量」の扱いを忘れている人も多いので、まず復習しましょう。

割合とは何か

割合とは、「あるものがもとにするものの何倍にあたるか」を表す数です。

\[ \text{割合} = \frac{\text{比べる量}}{\text{もとにする量}} \]
\[ \text{比べる量} = \text{もとにする量} \times \text{割合} \]

例：50 人のクラスで 20 人が眼鏡をかけているとき、眼鏡をかけている割合は？

\[ \frac{20}{50} = 0.4 = 40\% \]

「パーセント」「割・分・厘」の対応

割合の表し方には複数の種類があります。

表し方 意味 計算での使い方
パーセント（%） \(1\% = \dfrac{1}{100} = 0.01\) \(x\% = \dfrac{x}{100}\)
割（わり） \(1\) 割 \(= 0.1\) \(3\) 割 \(= 0.3\)
分（ぶ） \(1\) 分 \(= 0.01\) \(2\) 分 \(= 0.02\)
厘（りん） \(1\) 厘 \(= 0.001\) \(5\) 厘 \(= 0.005\)

「割引」の計算

「\(20\%\) 引き」＝もとの値段の \(100\% - 20\% = 80\%\) を払う。

\[ \text{売値} = \text{定価} \times (1 - 0.20) = \text{定価} \times 0.80 \]

「\(3\) 割引き」＝もとの値段の \(70\%\) を払う。

\[ \text{売値} = \text{定価} \times 0.7 \]

「割増」の計算

「\(20\%\) 増」＝もとの量の \(100\% + 20\% = 120\%\) になる。

\[ \text{増加後} = \text{もとの量} \times 1.20 \]

具体例で確認

例① 3000 円の商品を \(20\%\) 引きで買った。いくら払う？

\[ 3000 \times (1 - 0.20) = 3000 \times 0.80 = 2400 \text{ 円} \]

例② 昨年 200 人だった参加者が今年 \(15\%\) 増えた。今年は何人？

\[ 200 \times 1.15 = 230 \text{ 人} \]

例③ \(5\%\) の食塩水 \(200\) g に含まれる食塩は何 g？

\[ 200 \times \frac{5}{100} = 200 \times 0.05 = 10 \text{ g} \]

割合の問題で特に大切なこと

「もとにする量」に気をつけよう

割合は何に対するか（もとにする量）で意味が変わります。

  • 「定価の \(20\%\) 引き」→ もとは定価
  • 「原価の \(30\%\) 増しが定価」→ もとは原価
  • 「昨年より \(10\%\) 増加」→ もとは昨年の量

式を立てる前に「何を \(100\%\) としているか」を必ず確認する。

連立方程式を使う割合の問題

割合の文章題では、次の 3 種類の問題がよく出てきます。

問題の種類 使う関係式
食塩水・混合 食塩の量の保存（濃度×全体量）
定価・売値・利益 定価＝原価×（1＋利益率）、売値＝定価×（1−割引率）
人数・量の増減 増加後＝もとの量×（1＋増加率）

例題

例題１：食塩水を混ぜる問題

\(8\%\) の食塩水 \(x\) g と \(3\%\) の食塩水 \(y\) g を混ぜたところ、\(5\%\) の食塩水 \(500\) g ができた。
\(x\) と \(y\) をそれぞれ求めよ。

解答

① \(x\)、\(y\) を決める

\(8\%\) の食塩水を \(x\) g、\(3\%\) の食塩水を \(y\) g とおく。

② 等しい関係を 2 つ見つける

  • 全体の質量：\(x + y = 500\)

  • 食塩の量：混ぜる前の食塩の合計 ＝ 混ぜた後の食塩の量

\[ \frac{8}{100}x + \frac{3}{100}y = \frac{5}{100} \times 500 \]

食塩水の問題で立てる等式

「（濃度）× （食塩水の量）＝ （食塩の量）」を使って、
食塩の量が保存されることから等式を作る。

\[ (\text{混ぜる前の食塩の合計}) = (\text{混ぜた後の食塩の量}) \]

③ 連立方程式を立てる

食塩の式の両辺に \(100\) をかけて整理する。

\[ 8x + 3y = 2500 \quad \cdots ② \]
\[ \begin{cases} x + y = 500 & \cdots ① \\ 8x + 3y = 2500 & \cdots ② \end{cases} \]

④ 解く

①×3：\(3x + 3y = 1500 \quad \cdots ①'\)

②−①'（\(3y\) を消去）：

\[ \begin{aligned} &\quad 8x + 3y = 2500 \\ -)\quad &\quad 3x + 3y = 1500 \\ \hline &\quad 5x = 1000 \end{aligned} \]
\[ x = 200 \]

\(x = 200\) を①に代入：\(y = 300\)

⑤ 確認して答える

  • 質量合計：\(200 + 300 = 500\) g ✅
  • 食塩の量：\(\dfrac{8}{100}\times200 + \dfrac{3}{100}\times300 = 16 + 9 = 25\) g
  • 混合後の濃度：\(\dfrac{25}{500}\times100 = 5\%\) ✅

答え：\(8\%\) の食塩水 \(200\) g、\(3\%\) の食塩水 \(300\) g

例題２：定価と割引の問題

商品 A と商品 B の定価の合計は \(3000\) 円だった。
商品 A を定価の \(10\%\) 引きで、商品 B を定価の \(20\%\) 引きで買ったところ、
合計 \(2520\) 円だった。商品 A と商品 B の定価をそれぞれ求めよ。

解答

① \(x\)、\(y\) を決める

商品 A の定価を \(x\) 円、商品 B の定価を \(y\) 円とおく。

② 等しい関係を 2 つ見つける

  • 定価の合計：\(x + y = 3000\)

  • 売値の合計：

    • A の売値：\(x \times (1 - 0.10) = 0.9x\)
    • B の売値：\(y \times (1 - 0.20) = 0.8y\)
\[ 0.9x + 0.8y = 2520 \]

「〇%引き」の式の作り方

\(10\%\) 引きの売値 \(=\) 定価 \(\times\) \((1 - 0.10) =\) 定価 \(\times 0.9\)
\(20\%\) 引きの売値 \(=\) 定価 \(\times\) \((1 - 0.20) =\) 定価 \(\times 0.8\)

③ 連立方程式を立てる

②の両辺を \(10\) 倍して小数をなくす。

\[ 9x + 8y = 25200 \quad \cdots ②' \]
\[ \begin{cases} x + y = 3000 & \cdots ① \\ 9x + 8y = 25200 & \cdots ②' \end{cases} \]

④ 解く

①×8：\(8x + 8y = 24000 \quad \cdots ①'\)

②'−①'（\(8y\) を消去）：

\[ x = 1200 \]

\(x = 1200\) を①に代入：\(y = 1800\)

⑤ 確認して答える

  • 定価合計：\(1200 + 1800 = 3000\) 円 ✅
  • 売値合計：\(0.9\times1200 + 0.8\times1800 = 1080 + 1440 = 2520\) 円 ✅

答え：商品 A の定価 \(1200\) 円、商品 B の定価 \(1800\) 円

例題３：原価と利益の問題

商品 A の原価は \(x\) 円、商品 B の原価は \(y\) 円で、原価の合計は \(7000\) 円だった。
商品 A には原価の \(3\) 割の利益を乗せて定価をつけ、商品 B には原価の \(2\) 割の利益を乗せて定価をつけた。
2 つの商品の定価の合計は \(8700\) 円だった。原価 \(x\)、\(y\) をそれぞれ求めよ。

解答

① \(x\)、\(y\) を決める

商品 A の原価を \(x\) 円、商品 B の原価を \(y\) 円とおく。

② 等しい関係を 2 つ見つける

  • 原価の合計：\(x + y = 7000\)

  • 定価の合計：

    • A の定価：原価の \(3\) 割増し \(= x \times 1.3 = 1.3x\)
    • B の定価：原価の \(2\) 割増し \(= y \times 1.2 = 1.2y\)
\[ 1.3x + 1.2y = 8700 \]

「〇割増し」の式の作り方

\(3\) 割増し（\(30\%\) 増し）の定価 \(=\) 原価 \(\times (1 + 0.3) =\) 原価 \(\times 1.3\)
\(2\) 割増し（\(20\%\) 増し）の定価 \(=\) 原価 \(\times (1 + 0.2) =\) 原価 \(\times 1.2\)

③ 連立方程式を立てる

②の両辺を \(10\) 倍して小数をなくす。

\[ 13x + 12y = 87000 \quad \cdots ②' \]
\[ \begin{cases} x + y = 7000 & \cdots ① \\ 13x + 12y = 87000 & \cdots ②' \end{cases} \]

④ 解く

①×12：\(12x + 12y = 84000 \quad \cdots ①'\)

②'−①'（\(12y\) を消去）：

\[ x = 3000 \]

\(x = 3000\) を①に代入：\(y = 4000\)

⑤ 確認して答える

  • 原価合計：\(3000 + 4000 = 7000\) 円 ✅
  • 定価合計：\(1.3\times3000 + 1.2\times4000 = 3900 + 4800 = 8700\) 円 ✅

答え：商品 A の原価 \(3000\) 円、商品 B の原価 \(4000\) 円

例題４：人数の増減の問題

ある中学校の昨年の生徒数は男女合わせて \(500\) 人だった。
今年は、男子が昨年より \(6\%\) 増加し、女子が昨年より \(4\%\) 減少したため、
全体では昨年より \(8\) 人増えた。昨年の男子と女子の人数をそれぞれ求めよ。

解答

① \(x\)、\(y\) を決める

昨年の男子の人数を \(x\) 人、女子の人数を \(y\) 人とおく。

② 等しい関係を 2 つ見つける

  • 昨年の合計：\(x + y = 500\)

  • 今年の合計：昨年より \(8\) 人増えたので今年の合計は \(508\) 人

\[ 1.06x + 0.96y = 508 \]

「〇%増加・〇%減少」の式の作り方

\(6\%\) 増加後 \(=\) 昨年 \(\times (1 + 0.06) =\) 昨年 \(\times 1.06\)
\(4\%\) 減少後 \(=\) 昨年 \(\times (1 - 0.04) =\) 昨年 \(\times 0.96\)

③ 連立方程式を立てる

②の両辺を \(100\) 倍して小数をなくす。

\[ 106x + 96y = 50800 \quad \cdots ②' \]

さらに \(2\) で割る：

\[ 53x + 48y = 25400 \quad \cdots ②'' \]
\[ \begin{cases} x + y = 500 & \cdots ① \\ 53x + 48y = 25400 & \cdots ②'' \end{cases} \]

④ 解く

①×48：\(48x + 48y = 24000 \quad \cdots ①'\)

②''−①'（\(48y\) を消去）：

\[ 5x = 1400 \implies x = 280 \]

\(x = 280\) を①に代入：\(y = 220\)

⑤ 確認して答える

  • 昨年の合計：\(280 + 220 = 500\) 人 ✅
  • 今年の男子：\(280 \times 1.06 = 296.8 \approx 297\) 人（切り捨てると \(296\) 人）
  • 今年の女子：\(220 \times 0.96 = 211.2 \approx 211\) 人

人数問題と小数

人数は整数ですが、割合の計算では小数が出ることがあります。
問題文に「小数点以下は切り捨て（切り上げ）」などの指示がなければ、
計算上の答えを確認することが大切です。

今回は \(1.06\times280 + 0.96\times220 = 296.8 + 211.2 = 508.0\) ✅ で合計は整数になります。

答え：昨年の男子 \(280\) 人、女子 \(220\) 人

例題５：食塩水に水を加える問題（発展）

\(10\%\) の食塩水 \(x\) g に水 \(y\) g を加えて \(4\%\) の食塩水を作った。
できた食塩水は \(500\) g だった。\(x\) と \(y\) をそれぞれ求めよ。

解答

① \(x\)、\(y\) を決める

もとの \(10\%\) の食塩水を \(x\) g、加える水を \(y\) g とおく。

② 等しい関係を 2 つ見つける

  • 食塩水の質量の合計：\(x + y = 500\)

  • 食塩の量は変わらない：水を加えても食塩の量は変化しない。

\[ \frac{10}{100} \times x = \frac{4}{100} \times 500 \]

水を加えるときのポイント

水には食塩が含まれていないので、
「もとの食塩水に含まれる食塩の量」＝「できた食塩水に含まれる食塩の量」

③ 連立方程式を立てる

2 つ目の式を整理する（両辺を \(100\) 倍）：

\[ 10x = 4 \times 500 = 2000 \implies x = 200 \quad \cdots ② \]

実はこの式だけで \(x\) が求まります。\(y\) は①から求めます。

\[ \begin{cases} x + y = 500 & \cdots ① \\ 10x = 2000 & \cdots ② \end{cases} \]

④ 解く

②より \(x = 200\)

\(x = 200\) を①に代入：\(y = 300\)

⑤ 確認して答える

  • 食塩水の質量：\(200 + 300 = 500\) g ✅
  • もとの食塩量：\(\dfrac{10}{100}\times200 = 20\) g
  • 混合後の濃度：\(\dfrac{20}{500}\times100 = 4\%\) ✅

答え：\(10\%\) の食塩水 \(200\) g、加えた水 \(300\) g

割合の文章題でよくある間違い

間違い①：「\(x\%\)」を そのまま計算に使う

\(5\%\) を「\(5\)」のまま使って \(5 \times 200 = 1000\) としてしまうミスです。

✅ 対策：\(x\% = \dfrac{x}{100}\) に直してから計算する。または両辺に \(100\) をかけて整数にしてから解く。

間違い②：「もとにする量」を間違える

「定価の \(20\%\) 引き」のもとは定価ですが、「原価の \(20\%\) 増しの定価」のもとは原価です。

✅ 対策：「何の \(\%\)」なのかを必ず確認して、もとにする量を \(100\%\) として式を立てる。

間違い③：「割引後の値段」と「割引額」を混同する

「\(20\%\) 引き」は定価の \(20\%\) が安くなるのではなく、定価の \(80\%\) を払うということです。

表現 式
定価の \(20\%\) 引きで買う 売値 \(=\) 定価 \(\times 0.8\)
定価の \(20\%\) 分だけ安くなる 割引額 \(=\) 定価 \(\times 0.2\)

間違い④：小数のまま加減法・代入法を使おうとする

\(1.06x + 0.96y = 508\) のような式は、小数のまま扱うとミスが増えます。

✅ 対策：両辺に \(100\) をかけて整数係数の式に直してから解く。

\[ 1.06x + 0.96y = 508 \xrightarrow{\times 100} 106x + 96y = 50800 \]

練習問題

問１：食塩水を混ぜる

\(3\%\) の食塩水 \(x\) g と \(8\%\) の食塩水 \(y\) g を混ぜて、\(5\%\) の食塩水 \(500\) g を作った。
\(x\) と \(y\) をそれぞれ求めよ。

解答
\[ \begin{cases} x + y = 500 & \cdots ① \\ \dfrac{3}{100}x + \dfrac{8}{100}y = \dfrac{5}{100}\times500 & \cdots ② \end{cases} \]

②の両辺を \(100\) 倍：\(3x + 8y = 2500 \quad \cdots ②'\)

①×3：\(3x + 3y = 1500 \quad \cdots ①'\)

②'−①'（\(3x\) を消去）：

\[ 5y = 1000 \implies y = 200 \]

\(y = 200\) を①に代入：\(x = 300\)

確認：食塩量 \(\dfrac{3}{100}\times300 + \dfrac{8}{100}\times200 = 9 + 16 = 25\) g、濃度 \(\dfrac{25}{500}\times100 = 5\%\) ✅

答え：\(3\%\) の食塩水 \(300\) g、\(8\%\) の食塩水 \(200\) g

問２：定価と割引

商品 A と商品 B の定価の合計は \(4500\) 円だった。
商品 A を定価の \(15\%\) 引きで、商品 B を定価の \(10\%\) 引きで買ったところ、
合計 \(3930\) 円だった。商品 A と商品 B の定価をそれぞれ求めよ。

解答

A の定価を \(x\) 円、B の定価を \(y\) 円とおく。

\[ \begin{cases} x + y = 4500 & \cdots ① \\ 0.85x + 0.90y = 3930 & \cdots ② \end{cases} \]

②の両辺を \(100\) 倍：\(85x + 90y = 393000 \quad \cdots ②'\)

さらに \(5\) で割る：\(17x + 18y = 78600 \quad \cdots ②''\)

①×17：\(17x + 17y = 76500 \quad \cdots ①'\)

②''−①'（\(17x\) を消去）：

\[ y = 2100 \]

\(y = 2100\) を①に代入：\(x = 2400\)

確認：定価合計 \(2400+2100=4500\) 円 ✅、売値合計 \(0.85\times2400+0.90\times2100=2040+1890=3930\) 円 ✅

答え：商品 A の定価 \(2400\) 円、商品 B の定価 \(2100\) 円

問３：人数の増減

ある学校の昨年の生徒数は男女合わせて \(800\) 人だった。
今年は男子が \(5\%\) 増え、女子が \(3\%\) 増えたため、全体では \(28\) 人増加した。
昨年の男子と女子の人数をそれぞれ求めよ。

解答

昨年の男子を \(x\) 人、女子を \(y\) 人とおく。

  • 今年の合計：\(800 + 28 = 828\) 人
\[ \begin{cases} x + y = 800 & \cdots ① \\ 1.05x + 1.03y = 828 & \cdots ② \end{cases} \]

②の両辺を \(100\) 倍：\(105x + 103y = 82800 \quad \cdots ②'\)

①×103：\(103x + 103y = 82400 \quad \cdots ①'\)

②'−①'（\(103y\) を消去）：

\[ 2x = 400 \implies x = 200 \]

\(x = 200\) を①に代入：\(y = 600\)

確認：昨年合計 \(200+600=800\) 人 ✅、今年合計 \(1.05\times200+1.03\times600=210+618=828\) 人 ✅

答え：昨年の男子 \(200\) 人、女子 \(600\) 人

問４：2 種類の溶液を混ぜる

アルコール濃度 \(40\%\) の溶液 \(x\) mL とアルコール濃度 \(60\%\) の溶液 \(y\) mL を混ぜて、
アルコール濃度 \(50\%\) の溶液 \(300\) mL を作った。\(x\) と \(y\) をそれぞれ求めよ。

解答
\[ \begin{cases} x + y = 300 & \cdots ① \\ 0.4x + 0.6y = 0.5\times300 & \cdots ② \end{cases} \]

②を整理：\(0.4x + 0.6y = 150\)

両辺を \(10\) 倍：\(4x + 6y = 1500 \quad \cdots ②'\)

さらに \(2\) で割る：\(2x + 3y = 750 \quad \cdots ②''\)

①×2：\(2x + 2y = 600 \quad \cdots ①'\)

②''−①'（\(2x\) を消去）：

\[ y = 150 \]

\(y = 150\) を①に代入：\(x = 150\)

確認：体積合計 \(150+150=300\) mL ✅、アルコール量 \(0.4\times150+0.6\times150=60+90=150\) mL、濃度 \(\dfrac{150}{300}\times100=50\%\) ✅

答え：\(40\%\) の溶液 \(150\) mL、\(60\%\) の溶液 \(150\) mL

問５（発展）：定価と売値と利益

ある店で商品 A と商品 B を仕入れた。
A の原価は \(x\) 円、B の原価は \(y\) 円で、原価の合計は \(7000\) 円だった。
A には原価の \(3\) 割の利益を乗せて定価にし、B には原価の \(2\) 割の利益を乗せて定価にした。
A を定価の \(1\) 割引きで、B を定価どおりで売ったとき、合計の売上は \(8310\) 円だった。
A と B の原価をそれぞれ求めよ。

解答

① \(x\)、\(y\) を決める

A の原価を \(x\) 円、B の原価を \(y\) 円とおく。

② 等しい関係を 2 つ見つける

  • 原価の合計：\(x + y = 7000\)

  • 売値の計算：

    • A の定価：\(x \times 1.3\)、\(1\) 割引きで売る → 売値 \(= 1.3x \times 0.9 = 1.17x\)
    • B の定価：\(y \times 1.2\)、定価どおりで売る → 売値 \(= 1.2y\)
\[ 1.17x + 1.2y = 8310 \]

複数の割合が重なるときの式の作り方

「原価の \(3\) 割増しの定価を、さらに \(1\) 割引きで売る」
→ 売値 \(=\) 原価 \(\times 1.3 \times 0.9 =\) 原価 \(\times 1.17\)
このように掛け算を順番に行えばよい。

③ 連立方程式を立てる

②の両辺を \(100\) 倍して小数をなくす。

\[ 117x + 120y = 831000 \quad \cdots ②' \]
\[ \begin{cases} x + y = 7000 & \cdots ① \\ 117x + 120y = 831000 & \cdots ②' \end{cases} \]

④ 解く

①×117：\(117x + 117y = 819000 \quad \cdots ①'\)

②'−①'（\(117x\) を消去）：

\[ 3y = 12000 \implies y = 4000 \]

\(y = 4000\) を①に代入：\(x = 3000\)

⑤ 確認して答える

  • 原価合計：\(3000 + 4000 = 7000\) 円 ✅
  • A の売値：\(1.17\times3000 = 3510\) 円
  • B の売値：\(1.2\times4000 = 4800\) 円
  • 売上合計：\(3510 + 4800 = 8310\) 円 ✅

答え：A の原価 \(3000\) 円、B の原価 \(4000\) 円

問６（発展）：食塩水を入れ替える

濃度 \(10\%\) の食塩水が \(200\) g ある。この食塩水から \(x\) g を捨て、代わりに水 \(x\) g を加えたら、
濃度が \(6\%\) になった。\(x\) を求めよ。

解答

変化の前後で食塩量を追う

はじめの食塩水 \(200\) g 中の食塩の量：

\[ 200 \times \frac{10}{100} = 20 \text{ g} \]

\(x\) g を捨てると、捨てた食塩の量は：

\[ x \times \frac{10}{100} = \frac{x}{10} \text{ g} \]

水 \(x\) g を加えても食塩は増えないので、残った食塩の量は：

\[ 20 - \frac{x}{10} \text{ g} \]

食塩水の総量は変わらず \(200\) g のまま。できた食塩水の濃度が \(6\%\) なので：

\[ \frac{20 - \dfrac{x}{10}}{200} = \frac{6}{100} \]

両辺に \(200\) をかける：

\[ 20 - \frac{x}{10} = 12 \]
\[ \frac{x}{10} = 8 \implies x = 80 \]

確認：\(80\) g を捨てた後の食塩量 \(= 20 - 8 = 12\) g、水 \(80\) g を加えた後の食塩水 \(200\) g の濃度 \(= \dfrac{12}{200}\times100 = 6\%\) ✅

答え：\(x = 80\) g

1 文字で解ける問題

この問題は未知数が \(x\) だけなので 1 元 1 次方程式で解けます。
割合の問題では「何が変化して何が変わらないか」を整理することが大切です。

まとめ

割合の基本公式

\[ \text{比べる量} = \text{もとにする量} \times \text{割合} \]
表現 計算での式
\(x\%\) \(\dfrac{x}{100}\)
\(p\%\) 引き \(\times(1 - \dfrac{p}{100})\)
\(p\%\) 増し \(\times(1 + \dfrac{p}{100})\)

問題の種類と立てる等式

問題の種類 1本目の式 2本目の式
食塩水の混合 質量の合計 食塩の量の保存
定価・割引 定価の合計 売値の合計
原価・利益 原価の合計 定価（または売値）の合計
人数の増減 もとの合計 変化後の合計

よくある間違い

  • \(x\%\) をそのまま計算に使う：必ず \(\div 100\) する
  • 「もとにする量」を間違える：何に対する \(\%\) かを確認する
  • 「割引後の値段」と「割引額」を混同する：\(20\%\) 引きなら払う額は \(80\%\)
  • 小数のまま連立方程式を解く：両辺に \(10\) や \(100\) をかけて整数に直してから解く