平行と合同 練習問題¶
平行と合同の解説ページで学んだことを、新しい問題で確かめよう。解説ページの例題や練習問題とはちがう問題です。
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基本¶
平行線と角¶
確認する解説ページ：平行線と角
(1) 2直線が交わってできる角の1つが \(128°\) である。その対頂角と、となり合う角の大きさを答えよ。
解答
対頂角は等しいので \(128°\)。となり合う角は \(180° - 128° = 52°\)
(2) 平行な2直線 \(\ell\)、\(m\) に直線 \(n\) が交わっている。\(n\) と \(\ell\) の交点にできる角の1つが \(112°\) のとき、\(n\) と \(m\) の交点にできる、その角の同位角と錯角の大きさを答えよ。
解答
平行線の同位角・錯角は等しいので、どちらも \(112°\)
(3) 2直線 \(\ell\)、\(m\) に直線 \(n\) が交わってできる同位角が \(75°\) と \(77°\) だった。\(\ell\) と \(m\) は平行といえるか。
解答
同位角が等しくないので、平行ではない。
三角形の角¶
確認する解説ページ：平行線と角
(4) \(\triangle\)ABC で、\(\angle\)A \(= 48°\)、\(\angle\)B \(= 67°\) のとき、\(\angle\)C を求めよ。
解答
\(180° - (48° + 67°) = 65°\)
(5) \(\triangle\)ABC で、\(\angle\)A \(= 35°\)、\(\angle\)B \(= 80°\) のとき、頂点 C における外角の大きさを求めよ。
解答
外角はとなりにない2つの内角の和。\(35° + 80° = 115°\)
(6) 三角形の1つの外角が \(140°\) で、その外角ととなり合わない内角の1つが \(85°\) である。もう1つのとなり合わない内角を求めよ。
解答
\(140° - 85° = 55°\)
(7) 2つの内角が \(35°\) と \(50°\) である三角形は、鋭角三角形・直角三角形・鈍角三角形のどれか。
解答
残りの角は \(180° - 85° = 95°\)。鈍角があるので鈍角三角形
多角形の角¶
確認する解説ページ：平行線と角
(8) 九角形の内角の和を求めよ。
解答
\(180° \times (9 - 2) = 1260°\)
(9) 正十角形の1つの内角と、1つの外角を求めよ。
解答
外角：\(360° \div 10 = 36°\) 内角：\(180° - 36° = 144°\)
(10) 内角の和が \(1800°\) になる多角形は何角形か。
解答
\(180° \times (n - 2) = 1800°\) より \(n - 2 = 10\)、\(n = 12\)。十二角形
(11) 1つの外角が \(24°\) である正多角形は、正何角形か。
解答
外角の和は \(360°\) なので \(360° \div 24° = 15\)。正十五角形
合同な図形と合同条件¶
確認する解説ページ：合同と証明
(12) \(\triangle\)PQR \(\equiv\) \(\triangle\)XYZ で、PQ \(= 5\) cm、\(\angle\)Q \(= 70°\) である。XY の長さと \(\angle\)Y の大きさを答えよ。
解答
対応する辺・角は等しい。XY \(= 5\) cm、\(\angle\)Y \(= 70°\)
(13) \(\triangle\)ABC と \(\triangle\)DEF で、次の条件が成り立つとき、2つの三角形は合同といえるか。合同といえる場合は、使った合同条件を答えよ。
(a) AB \(=\) DE、\(\angle\)A \(= \angle\)D、\(\angle\)B \(= \angle\)E
(b) AB \(=\) DE、AC \(=\) DF、\(\angle\)A \(= \angle\)D
(c) AB \(=\) DE、BC \(=\) EF、\(\angle\)A \(= \angle\)D
解答
(a) いえる。1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい。
(b) いえる。2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい。
(c) いえない。\(\angle\)A は辺 AB と BC の間の角ではない。
(14) 次のことがらの、仮定と結論を答えよ。
(a) \(\triangle\)ABC で、AB \(=\) AC ならば \(\angle\)B \(= \angle\)C である。
(b) \(x\) が \(6\) の倍数ならば、\(x\) は \(3\) の倍数である。
解答
(a) 仮定：AB \(=\) AC 結論：\(\angle\)B \(= \angle\)C
(b) 仮定：\(x\) が \(6\) の倍数 結論：\(x\) は \(3\) の倍数
標準¶
角度を求める¶
確認する解説ページ：平行線と角
(15) \(\ell \parallel m\) である。\(\ell\) 上の点 A から右下に引いた線分が点 P で折れ曲がり、そこから左下に進んで \(m\) 上の点 B に届いている。\(\ell\) と AP がつくる角（P 側の、\(\ell\) より下の角）が \(38°\)、\(m\) と PB がつくる角（P 側の、\(m\) より上の角）が \(47°\) のとき、\(\angle\)APB を求めよ。
解答
P を通り \(\ell\) に平行な直線を引くと、錯角によって \(\angle\)APB は \(38°\) と \(47°\) に分かれる。
\(\angle\)APB \(= 38° + 47° = 85°\)
(16) \(\ell \parallel m\) である。点 A は \(\ell\) 上に、点 B、C は \(m\) 上にあり、B は C より左にある。\(\ell\) 上で A の左に点 P、右に点 Q をとると、\(\angle\)PAB \(= 55°\)、\(\angle\)QAC \(= 70°\) だった。\(\angle\)ABC、\(\angle\)ACB、\(\angle\)BAC を求めよ。
解答
錯角が等しいので、\(\angle\)ABC \(= \angle\)PAB \(= 55°\)、\(\angle\)ACB \(= \angle\)QAC \(= 70°\)
\(\angle\)BAC \(= 180° - 55° - 70° = 55°\)
（A で一直線になる3つの角が、三角形の3つの内角になっている）
(17) \(\triangle\)ABC の内部に点 D がある。\(\angle\)BAC \(= 60°\)、\(\angle\)ABD \(= 20°\)、\(\angle\)ACD \(= 30°\) のとき、\(\angle\)BDC を求めよ。
解答
直線 AD を D の先までのばし、BC との交点を E とする。外角の性質を2回使う。
\(\angle\)BDE \(= \angle\)BAD \(+ 20°\)、\(\angle\)CDE \(= \angle\)CAD \(+ 30°\)
たすと \(\angle\)BDC \(= \angle\)BAC \(+ 20° + 30° = 60° + 50° = 110°\)
(18) \(\triangle\)ABC で \(\angle\)A \(= 50°\) である。\(\angle\)B と \(\angle\)C の二等分線の交点を P とするとき、\(\angle\)BPC を求めよ。
解答
\(\angle\)B \(+ \angle\)C \(= 130°\) なので、\(\angle\)PBC \(+ \angle\)PCB \(= 65°\)
\(\angle\)BPC \(= 180° - 65° = 115°\)
(19) 四角形の3つの内角が \(85°\)、\(110°\)、\(95°\) のとき、残りの内角を求めよ。
解答
四角形の内角の和は \(360°\)。\(360° - (85° + 110° + 95°) = 70°\)
(20) 五角形の外角のうち4つが \(70°\)、\(65°\)、\(80°\)、\(75°\) のとき、残りの外角と、その外角ととなり合う内角を求めよ。
解答
外角の和は \(360°\)。\(360° - 290° = 70°\)。となり合う内角は \(180° - 70° = 110°\)
合同の証明¶
確認する解説ページ：合同と証明
(21) AB \(\parallel\) DC、AB \(=\) DC である四角形 ABCD で、対角線 AC と BD の交点を O とする。AO \(=\) CO であることを証明せよ。
解答
\(\triangle\)OAB と \(\triangle\)OCD で、
仮定より AB \(=\) CD …①
AB \(\parallel\) DC より錯角が等しいので \(\angle\)OAB \(= \angle\)OCD …②、\(\angle\)OBA \(= \angle\)ODC …③
①②③より、1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので \(\triangle\)OAB \(\equiv\) \(\triangle\)OCD
合同な図形の対応する辺は等しいので AO \(=\) CO
(22) 四角形 ABCD で、AB \(=\) AD、BC \(=\) DC である。\(\angle\)B \(= \angle\)D であることを証明せよ。
解答
対角線 AC を引く。\(\triangle\)ABC と \(\triangle\)ADC で、
仮定より AB \(=\) AD …①、BC \(=\) DC …②
共通な辺なので AC \(=\) AC …③
①②③より、3組の辺がそれぞれ等しいので \(\triangle\)ABC \(\equiv\) \(\triangle\)ADC
合同な図形の対応する角は等しいので \(\angle\)B \(= \angle\)D
(23) 線分 AB の中点を M とする。A を通る直線 \(\ell\) と、B を通り \(\ell\) に平行な直線 \(m\) を引く。M を通る直線が \(\ell\)、\(m\) と交わる点をそれぞれ P、Q とするとき、PM \(=\) QM であることを証明せよ。
解答
\(\triangle\)AMP と \(\triangle\)BMQ で、
仮定より AM \(=\) BM …①
\(\ell \parallel m\) より錯角が等しいので \(\angle\)PAM \(= \angle\)QBM …②
対頂角は等しいので \(\angle\)AMP \(= \angle\)BMQ …③
①②③より、1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので \(\triangle\)AMP \(\equiv\) \(\triangle\)BMQ
よって PM \(=\) QM
発展¶
(24) 星形の図形（五角形の対角線をすべて引いてできる、5つのとがった角をもつ図形）で、5つのとがった角の和を求めよ。
解答
とがった角を \(\angle\)a〜\(\angle\)e とする。三角形の外角の性質を使うと、2つのとがった角の和を、ある三角形の1つの外角にまとめられる。これを2回くり返すと、5つの角が1つの三角形の3つの内角に集まる。
5つの角の和は \(180°\)
(25) 1つの内角の大きさが、1つの外角の大きさの \(4\) 倍である正多角形は、正何角形か。
解答
外角を \(x°\) とすると内角は \(4x°\)。\(x + 4x = 180\) より \(x = 36\)
\(360 \div 36 = 10\)。正十角形
(26) 1つの外角が、1つの内角より \(100°\) 小さい正多角形は、正何角形か。
解答
内角を \(a\)、外角を \(b\) とすると \(a + b = 180°\)、\(a - b = 100°\) より \(b = 40°\)
\(360° \div 40° = 9\)。正九角形
(27) 正五角形 ABCDE で、対角線 AC と BE の交点を P とする。\(\angle\)APB を求めよ。
解答
正五角形の1つの内角は \(108°\)。
\(\triangle\)BAC は BA \(=\) BC の二等辺三角形なので \(\angle\)BAC \(= (180° - 108°) \div 2 = 36°\)
同じように \(\triangle\)ABE で \(\angle\)ABE \(= 36°\)
\(\triangle\)ABP で \(\angle\)APB \(= 180° - 36° - 36° = 108°\)
(28) 線分 AB 上に点 C をとり、AC、CB をそれぞれ1辺とする正三角形 ACD と CBE を、AB について同じ側につくる。AE \(=\) DB であることを証明せよ。
解答
\(\triangle\)ACE と \(\triangle\)DCB で、
正三角形の辺なので AC \(=\) DC …①、CE \(=\) CB …②
\(\angle\)ACE \(= \angle\)ACD \(+ \angle\)DCE \(= 60° + \angle\)DCE
\(\angle\)DCB \(= \angle\)DCE \(+ \angle\)ECB \(= \angle\)DCE \(+ 60°\)
よって \(\angle\)ACE \(= \angle\)DCB …③
①②③より、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので \(\triangle\)ACE \(\equiv\) \(\triangle\)DCB
よって AE \(=\) DB
(29) \(\angle\)XOY の内部に点 P がある。P を通る直線が OX、OY と交わる点を A、B とし、PA \(=\) PB とする。さらに、P を通り OY に平行な直線と OX の交点を C、P を通り OX に平行な直線と OY の交点を D とする。\(\triangle\)ACP \(\equiv\) \(\triangle\)PDB を証明せよ。
解答
\(\triangle\)ACP と \(\triangle\)PDB で、
仮定より PA \(=\) BP …①
CP \(\parallel\) OY より同位角が等しいので \(\angle\)APC \(= \angle\)PBD …②
PD \(\parallel\) OX より同位角が等しいので \(\angle\)CAP \(= \angle\)DPB …③
①②③より、1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので \(\triangle\)ACP \(\equiv\) \(\triangle\)PDB
(30) 六角形の内角のうち5つが、\(110°\)、\(130°\)、\(125°\)、\(115°\)、\(120°\) である。残りの内角を求めよ。
解答
六角形の内角の和は \(180° \times 4 = 720°\)
\(720° - (110° + 130° + 125° + 115° + 120°) = 720° - 600° = 120°\)