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等式の変形

1. 等式を変形する「理由」

なぜ等式を変形するのか？

数学や理科では、さまざまな公式が登場する。たとえば：

\[ v = \frac{x}{t} \quad \text{（速さ＝距離÷時間）} \]

この式は「速さ \(v\) を求める」ときには便利だが、「時間 \(t\) を求めたい」ときはどうだろう？

\[ t = \frac{x}{v} \]

このように、知りたい文字が左辺にくるよう式を変形することを等式の変形（または「〜について解く」）という。

等式の変形が役立つ場面

  • 理科の公式を使って、求めたい量を計算するとき
  • 方程式の解き方の応用として
  • 高校数学・入試での頻出テクニック

2. 等式の性質

等式を変形するには、等式の両辺に同じ操作をしても等式は成り立つという性質を使う。

操作 例
両辺に同じ数をたす \(a = b \Rightarrow a + c = b + c\)
両辺から同じ数をひく \(a = b \Rightarrow a - c = b - c\)
両辺に同じ数をかける \(a = b \Rightarrow ac = bc\)
両辺を同じ数（≠0）で割る \(a = b \Rightarrow \dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{c}\)

0で割ることは禁止！

両辺を \(0\) で割ることはできない。変形するときは「0でない数で割る」に注意。

3. 特定の文字について解く

「\(x\) について解く」とは、式を \(x = \cdots\) の形に変形すること。

手順

  1. 求めたい文字を含む項を左辺に、それ以外を右辺に移項する
  2. 必要であれば両辺をかけたり割ったりして、係数を \(1\) にする

例題１

\[ y = 3x - 2 \quad \text{を } x \text{ について解け。} \]
解答

\(x\) を含む項を左辺に移す。

\[ y + 2 = 3x \]

両辺を \(3\) で割る。

\[ x = \frac{y + 2}{3} \]

例題２

\[ 2x + 3y = 6 \quad \text{を } y \text{ について解け。} \]
解答

\(y\) を含む項を左辺に移す。

\[ 3y = 6 - 2x \]

両辺を \(3\) で割る。

\[ y = \frac{6 - 2x}{3} = 2 - \frac{2}{3}x \]

例題３（分数を含む場合）

\[ \frac{x - a}{2} = b \quad \text{を } x \text{ について解け。} \]
解答

両辺に \(2\) をかけて分母を払う。

\[ x - a = 2b \]

\(a\) を右辺に移項する。

\[ x = 2b + a \]

例題４（理科の公式）

速さ・時間・距離の関係式

\[ x = vt \quad \text{を } t \text{ について解け。} \]
解答

両辺を \(v\) で割る（\(v \neq 0\)）。

\[ t = \frac{x}{v} \]

理科との連携

理科では \(v = \frac{x}{t}\)、\(x = vt\)、\(t = \frac{x}{v}\) の３つを覚えるが、等式の変形を使えば１つ覚えれば残り２つは導ける。

4. よくあるミスと注意点

移項するときは符号が変わる

\[ 3x + 5 = y \quad \Rightarrow \quad 3x = y - 5 \quad \text{（}+5\text{ を移項すると }-5\text{）} \]

分数・かっこは先に処理する

\[ \frac{ax + b}{c} = d \]

両辺に \(c\) をかけてから変形する：

\[ ax + b = cd \quad \Rightarrow \quad ax = cd - b \quad \Rightarrow \quad x = \frac{cd - b}{a} \]

分子ごとかけることに注意

\(\dfrac{ax + b}{c}\) の両辺に \(c\) をかけると、分子全体 \(ax + b\) にかかる。\(ax + bc\) とするミスに注意！

5. 練習問題

練習問題１

次の等式を \([ \quad ]\) 内の文字について解け。

(1) \(y = 5x + 1\) 　　\([x]\)

解答
\[ y - 1 = 5x \]
\[ x = \frac{y - 1}{5} \]

(2) \(3x - 4y = 12\) 　　\([y]\)

解答
\[ -4y = 12 - 3x \]
\[ y = \frac{12 - 3x}{-4} = \frac{3x - 12}{4} \]

(3) \(S = \frac{1}{2}ah\) 　　\([h]\)

解答

両辺に \(2\) をかける。

\[ 2S = ah \]

両辺を \(a\) で割る。

\[ h = \frac{2S}{a} \]

(4) \(\frac{x + y}{3} = z\) 　　\([x]\)

解答

両辺に \(3\) をかける。

\[ x + y = 3z \]
\[ x = 3z - y \]

(5) \(2(x + a) = b\) 　　\([x]\)

解答

両辺を \(2\) で割る（または先にかっこを展開してもよい）。

\[ x + a = \frac{b}{2} \]
\[ x = \frac{b}{2} - a \]

練習問題２（応用）

(1) 台形の面積の公式 \(S = \frac{(a + b)h}{2}\) を \(a\) について解け。

解答

両辺に \(2\) をかける。

\[ 2S = (a + b)h \]

両辺を \(h\) で割る。

\[ a + b = \frac{2S}{h} \]
\[ a = \frac{2S}{h} - b \]

(2) \(3x + 2y = 6\) を \(y\) について解き、\(x = 4\) のときの \(y\) の値を求めよ。

解答

まず \(y\) について解く。

\[ 2y = 6 - 3x \]
\[ y = \frac{6 - 3x}{2} = 3 - \frac{3}{2}x \]

\(x = 4\) を代入。

\[ y = 3 - \frac{3}{2} \times 4 = 3 - 6 = -3 \]

(3)（発展） \(ax - b = cx + d\) を \(x\) について解け。

解答

\(x\) を含む項を左辺にまとめる。

\[ ax - cx = d + b \]

左辺を因数分解する。

\[ (a - c)x = b + d \]

両辺を \((a - c)\) で割る（\(a \neq c\)）。

\[ x = \frac{b + d}{a - c} \]

まとめ

この章のポイント

  1. 等式の変形とは、知りたい文字 = ～ の形に式を整理すること。
  2. 両辺に同じ操作（加減乗除）をしても等式は成り立つ。ただし0での除算は不可。
  3. 手順は「求めたい文字を左辺、それ以外を右辺に移項 → 係数で割る」。
  4. 理科の公式も等式の変形で自在に使いこなせる！