多項式¶
1. 単項式・多項式の基本¶
単項式とは¶
数や文字の積だけでできている式を単項式という。
\[ 3x, \quad -5ab, \quad 7, \quad \frac{1}{2}x^2 \]
単項式において、かけ合わせた文字の個数を次数、数の部分を係数という。
| 単項式 | 係数 | 次数 |
|---|---|---|
| \(3x\) | \(3\) | \(1\) |
| \(-5ab\) | \(-5\) | \(2\) |
| \(\frac{1}{2}x^2\) | \(\frac{1}{2}\) | \(2\) |
| \(7\) | \(7\) | \(0\) |
多項式とは¶
単項式の和の形で表された式を多項式という。多項式を構成するひとつひとつの単項式を項という。
\[ 2x + 3y - 5 \]
この多項式の項は \(2x\)、\(3y\)、\(-5\) の３つ。
多項式の次数は、各項の次数のうち最も大きいもの。
\[ 3x^2 + 2x - 1 \quad \Rightarrow \quad \text{２次式} \]
同類項
文字の部分が同じ項を同類項という。同類項はまとめることができる。
\[ 3x + 5x = 8x, \quad 2x^2 - x^2 = x^2 \]
例題１¶
次の多項式の次数と、\(x\) の係数を答えよ。
\[ 4x^3 - 2x^2 + x - 7 \]
解答
- 次数：３次（最も次数が高い項 \(4x^3\) の次数が３）
- \(x\) の係数：１（\(x = 1 \cdot x\) なので係数は \(1\)）
練習問題１¶
次の問いに答えよ。
(1) \(-6x^2y\) の係数と次数を答えよ。
解答
- 係数：\(-6\)
- 次数：\(3\)（\(x^2\) で２次、\(y\) で１次、合わせて３次）
(2) \(5a^2 - 3a + 2b - 1\) の次数を答えよ。
解答
最も次数が高い項は \(5a^2\)（２次）なので、２次式。
(3) 次の式の同類項をまとめよ。
\[ 3x^2 + 2x - x^2 + 5x - 4 \]
解答
\[ (3x^2 - x^2) + (2x + 5x) - 4 = 2x^2 + 7x - 4 \]
2. 多項式の加法・減法¶
多項式の加法¶
多項式どうしをたすときは、同類項をまとめる。
\[ (3x^2 + 2x - 1) + (x^2 - 5x + 4) \]
\[ = 3x^2 + x^2 + 2x - 5x - 1 + 4 \]
\[ = 4x^2 - 3x + 3 \]
多項式の減法¶
多項式を引くときは、引く式の各項の符号を変えてたす。
\[ (3x^2 + 2x - 1) - (x^2 - 5x + 4) \]
\[ = 3x^2 + 2x - 1 - x^2 + 5x - 4 \]
\[ = 2x^2 + 7x - 5 \]
符号に注意！
引き算では、かっこを外すときにすべての項の符号が変わる。
\[ -(x^2 - 5x + 4) = -x^2 + 5x - 4 \]
例題２¶
次の計算をせよ。
\[ (2a^2 - 3a + 1) + (-a^2 + 4a - 5) \]
解答
\[ = 2a^2 - a^2 - 3a + 4a + 1 - 5 \]
\[ = a^2 + a - 4 \]
例題３¶
次の計算をせよ。
\[ (4x^2 - x + 3) - (2x^2 + 3x - 2) \]
解答
\[ = 4x^2 - x + 3 - 2x^2 - 3x + 2 \]
\[ = 2x^2 - 4x + 5 \]
練習問題２¶
次の計算をせよ。
(1)
\[ (5x^2 + 3x - 2) + (x^2 - 4x + 6) \]
解答
\[ = 6x^2 - x + 4 \]
(2)
\[ (3a^2 - 2a + 5) - (a^2 - 3a - 1) \]
解答
\[ = 3a^2 - 2a + 5 - a^2 + 3a + 1 \]
\[ = 2a^2 + a + 6 \]
(3)
\[ (x^2 + 2xy - y^2) + (3x^2 - xy + 2y^2) \]
解答
\[ = x^2 + 3x^2 + 2xy - xy - y^2 + 2y^2 \]
\[ = 4x^2 + xy + y^2 \]
(4)
\[ (2x^2 - 3xy + y^2) - (x^2 + xy - 4y^2) \]
解答
\[ = 2x^2 - 3xy + y^2 - x^2 - xy + 4y^2 \]
\[ = x^2 - 4xy + 5y^2 \]
3. 多項式と単項式の乗除¶
多項式 × 単項式¶
単項式を多項式の各項にかける（分配法則）。
\[ 3x(2x + 5) = 3x \cdot 2x + 3x \cdot 5 = 6x^2 + 15x \]
\[ -2a(a^2 - 3a + 1) = -2a \cdot a^2 + (-2a)(-3a) + (-2a)(1) \]
\[ = -2a^3 + 6a^2 - 2a \]
多項式 ÷ 単項式¶
多項式の各項を単項式で割る。
\[ (6x^2 + 9x) \div 3x = \frac{6x^2}{3x} + \frac{9x}{3x} = 2x + 3 \]
分数の形にして計算しよう
\[ (8a^3 - 4a^2) \div 2a = \frac{8a^3 - 4a^2}{2a} = \frac{8a^3}{2a} - \frac{4a^2}{2a} = 4a^2 - 2a \]
例題４¶
次の計算をせよ。
\[ 2x(3x^2 - x + 4) \]
解答
\[ = 2x \cdot 3x^2 + 2x \cdot (-x) + 2x \cdot 4 \]
\[ = 6x^3 - 2x^2 + 8x \]
例題５¶
次の計算をせよ。
\[ (12x^3 - 8x^2 + 4x) \div 4x \]
解答
\[ = \frac{12x^3}{4x} - \frac{8x^2}{4x} + \frac{4x}{4x} \]
\[ = 3x^2 - 2x + 1 \]
練習問題３¶
次の計算をせよ。
(1)
\[ 4a(2a - 3) \]
解答
\[ = 8a^2 - 12a \]
(2)
\[ -3x(x^2 + 2x - 5) \]
解答
\[ = -3x^3 - 6x^2 + 15x \]
(3)
\[ (10x^2 - 15x) \div 5x \]
解答
\[ = \frac{10x^2}{5x} - \frac{15x}{5x} = 2x - 3 \]
(4)
\[ (6a^3b - 9a^2b^2 + 3ab) \div 3ab \]
解答
\[ = \frac{6a^3b}{3ab} - \frac{9a^2b^2}{3ab} + \frac{3ab}{3ab} \]
\[ = 2a^2 - 3ab + 1 \]
(5)（発展）
次の式を展開して整理せよ。
\[ 2x(x + 3) - x(3x - 1) \]
解答
\[ = 2x^2 + 6x - 3x^2 + x \]
\[ = -x^2 + 7x \]
まとめ¶
この章のポイント
- 単項式は積だけ、多項式は和の形。次数・係数を確認しよう。
- 多項式の加減は同類項をまとめる。引き算は符号に要注意。
- 多項式×単項式は分配法則、多項式÷単項式は各項を割る。