一次関数の式の決定¶

この単元でやること¶

\(y = ax + b\) の \(a\) と \(b\) を、与えられた条件から求めます。\(a\) を先に、\(b\) をあとに求めるのが基本の流れです。

出題のされ方は、大きく次の3パターンです。

パターン	与えられるもの	手順
①	傾きと1点	\(a\) は分かっている → 代入して \(b\)
②	2点	変化の割合で \(a\) → 代入して \(b\)
③	グラフ	読み取って ①② に持ち込む

パターン①：傾きと1点が分かっている¶

例題傾きが \(3\) で、点 \((2,\ 1)\) を通る一次関数の式を求めなさい。

解答

傾きが \(3\) なので、求める式は \(y = 3x + b\) とおけます。

この直線が \((2,\ 1)\) を通るので、\(x = 2,\ y = 1\) を代入します。

\[ 1 = 3 \times 2 + b \]

\[ 1 = 6 + b \quad\Rightarrow\quad b = -5 \]

\[ \boxed{y = 3x - 5} \]

「通る」＝「代入できる」

「点 \((2,\ 1)\) を通る」は「\(x=2\) のとき \(y=1\) になる」という意味です。だからそのまま代入してよいのです。ここが分かると文章題も解けるようになります。

パターン②：2点が分かっている¶

例題 2点 \((1,\ 3)\)、\((4,\ 12)\) を通る一次関数の式を求めなさい。

解答

手順1 変化の割合（＝傾き \(a\)）を求めます。

\[ a = \frac{12 - 3}{4 - 1} = \frac{9}{3} = 3 \]

手順2 \(y = 3x + b\) に、どちらか一方の点を代入します。\((1,\ 3)\) を使うと

\[ 3 = 3 \times 1 + b \quad\Rightarrow\quad b = 0 \]

\[ \boxed{y = 3x} \]

確かめ もう一方の点 \((4,\ 12)\) も満たすか確認します。 \(3 \times 4 = 12\) ✓ 正しく求められました。

引く順番をそろえる

変化の割合を求めるとき、分子と分母で引く順番をそろえます。

\[ \frac{12 - 3}{4 - 1} \quad(\bigcirc) \qquad \frac{12 - 3}{1 - 4} \quad(\times) \]

順番がバラバラだと符号が逆になります。「あとの点 − まえの点」で統一しましょう。

動かして確かめよう¶

2点を指で動かすと、式の求め方が①②③の順に表示されます。 分数の傾きになる場合も試してみてください。

パターン③：グラフから読み取る¶

グラフが与えられたら、次の順に読み取ります。

切片 … \(y\) 軸との交点を読む（これが \(b\)）
傾き … 格子点を2つ見つけて「右へ何、上へ何」を数える

格子点を選ぶコツ

方眼の交点をきれいに通っているところを選びます。半端な位置で読むと傾きを間違えます。

例 \(y\) 軸と \((0,\ -1)\) で交わり、そこから右へ \(2\) 進むと上へ \(3\) 上がる直線。

\[ b = -1,\qquad a = \frac{3}{2} \qquad\Rightarrow\qquad y = \frac{3}{2}x - 1 \]

練習問題¶

問1¶

次の一次関数の式を求めなさい。

傾きが \(-2\) で、点 \((3,\ 1)\) を通る
変化の割合が \(\dfrac{1}{2}\) で、点 \((4,\ 5)\) を通る
2点 \((0,\ 3)\)、\((2,\ 7)\) を通る
2点 \((-1,\ 5)\)、\((3,\ -3)\) を通る

解答

(1) \(y = -2x + b\) に \((3,\ 1)\) を代入：

\[ 1 = -6 + b \quad\Rightarrow\quad b = 7 \qquad \boxed{y = -2x + 7} \]

(2) \(y = \dfrac{1}{2}x + b\) に \((4,\ 5)\) を代入：

\[ 5 = 2 + b \quad\Rightarrow\quad b = 3 \qquad \boxed{y = \frac{1}{2}x + 3} \]

(3) \(a = \dfrac{7-3}{2-0} = 2\)。\((0,\ 3)\) は \(y\) 軸上なので \(b = 3\)。

\[ \boxed{y = 2x + 3} \]

(4) \(a = \dfrac{-3-5}{3-(-1)} = \dfrac{-8}{4} = -2\)。\((-1,\ 5)\) を代入：

\[ 5 = -2 \times (-1) + b = 2 + b \quad\Rightarrow\quad b = 3 \qquad \boxed{y = -2x + 3} \]

問2¶

\(x = 2\) のとき \(y = -1\)、\(x = 6\) のとき \(y = 7\) である一次関数の式を求めなさい。

解答

「\(x=2\) のとき \(y=-1\)」は点 \((2,\ -1)\) のことです。2点 \((2,\ -1)\)、\((6,\ 7)\) を通ります。

\[ a = \frac{7 - (-1)}{6 - 2} = \frac{8}{4} = 2 \]

\((2,\ -1)\) を代入して

\[ -1 = 4 + b \quad\Rightarrow\quad b = -5 \qquad \boxed{y = 2x - 5} \]

問3¶

一次関数 \(y = ax + b\) のグラフが、点 \((1,\ 4)\) を通り、\(y = 3x - 2\) のグラフと平行であるとき、\(a\) と \(b\) を求めなさい。

解答

平行＝傾きが等しい なので \(a = 3\)。

\(y = 3x + b\) に \((1,\ 4)\) を代入して

\[ 4 = 3 + b \quad\Rightarrow\quad b = 1 \]

\[ a = 3,\quad b = 1 \qquad (y = 3x + 1) \]

問4（応用）¶

一次関数 \(y = ax + b\) で、\(x\) の変域が \(-2 \leqq x \leqq 4\) のとき、\(y\) の変域が \(-1 \leqq y \leqq 8\) になりました。\(a > 0\) として、\(a\) と \(b\) を求めなさい。

解答

\(a > 0\)（右上がり）なので、\(x\) が小さいとき \(y\) も小さくなります。つまり

\(x = -2\) のとき \(y = -1\)
\(x = 4\) のとき \(y = 8\)

\[ a = \frac{8 - (-1)}{4 - (-2)} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} \]

\((-2,\ -1)\) を代入して

\[ -1 = \frac{3}{2} \times (-2) + b = -3 + b \quad\Rightarrow\quad b = 2 \]

\[ a = \frac{3}{2},\quad b = 2 \]

\(a < 0\) のときは対応が逆になる

もし \(a < 0\)（右下がり）なら、\(x\) が小さいときに \(y\) が大きくなります。 \(a\) の符号で対応が入れかわるので、必ず確認してください。

この単元のまとめ¶

\(a\) を先に、\(b\) をあとに求める
傾きが分かっていれば、点を代入するだけ
2点なら、まず変化の割合で \(a\) を求める
「点を通る」＝「代入できる」
平行＝傾きが等しい

次は一次関数とグラフで、グラフのかき方と交点を扱います。

もっと練習しよう

この分野の問題をもっと解きたいときは、一次関数練習問題に挑戦しよう。解説ページとはちがう問題です。