データの活用（2年） 練習問題¶
四分位数と箱ひげ図の解説ページで学んだことを、新しい問題で確かめよう。解説ページの例題や練習問題とはちがう問題です。
このページの使い方
- 基本から順に解こう。基本がすべて解けたら標準、さらに挑戦したい人は発展へ。
- データが奇数個のときは、中央値を前半にも後半にも入れずに四分位数を求める（解説ページと同じ決まり）。
- 間違えた問題は、小見出しの下にある解説ページへ戻って確認しよう。
基本¶
四分位数を求める¶
確認する解説ページ：四分位数と箱ひげ図
(1) 次のデータの最小値・第1四分位数・中央値・第3四分位数・最大値を求めよ。
解答
10個（偶数）なので、前半 \(4, 7, 9, 11, 12\)、後半 \(14, 15, 18, 21, 25\) に分ける。
最小値 \(4\)、\(Q_1 = 9\)、中央値 \(\dfrac{12 + 14}{2} = 13\)、\(Q_3 = 18\)、最大値 \(25\)
(2) 次のデータの最小値・第1四分位数・中央値・第3四分位数・最大値を求めよ。
解答
9個（奇数）なので中央値は \(13\)。前半 \(3, 6, 8, 10\)、後半 \(15, 17, 20, 22\)
最小値 \(3\)、\(Q_1 = \dfrac{6 + 8}{2} = 7\)、中央値 \(13\)、\(Q_3 = \dfrac{17 + 20}{2} = 18.5\)、最大値 \(22\)
(3) 次のデータの最小値・第1四分位数・中央値・第3四分位数・最大値を求めよ。
解答
小さい順に並べる：\(22, 25, 27, 28, 29, 31, 33, 36, 38, 40, 45\)
11個なので中央値は6番目の \(31\)。前半 \(22, 25, 27, 28, 29\)、後半 \(33, 36, 38, 40, 45\)
最小値 \(22\)、\(Q_1 = 27\)、中央値 \(31\)、\(Q_3 = 38\)、最大値 \(45\)
(4) 次のデータの第1四分位数・中央値・第3四分位数を求めよ。
解答
前半 \(15, 18, 20, 22\)、後半 \(23, 27, 30, 34\)
\(Q_1 = \dfrac{18 + 20}{2} = 19\)、中央値 \(\dfrac{22 + 23}{2} = 22.5\)、\(Q_3 = \dfrac{27 + 30}{2} = 28.5\)
範囲と四分位範囲¶
確認する解説ページ：四分位数と箱ひげ図
(5) (1) のデータの四分位範囲を求めよ。
解答
\(Q_3 - Q_1 = 18 - 9 = 9\)
(6) (3) のデータの範囲と四分位範囲を求めよ。
解答
範囲 \(= 45 - 22 = 23\)、四分位範囲 \(= 38 - 27 = 11\)
(7) あるデータの最小値は \(12\)、第1四分位数は \(18\)、中央値は \(25\)、第3四分位数は \(31\)、最大値は \(40\) だった。範囲と四分位範囲を求めよ。
解答
範囲 \(= 40 - 12 = 28\)、四分位範囲 \(= 31 - 18 = 13\)
箱ひげ図の読み取り¶
確認する解説ページ：四分位数と箱ひげ図
(8) 箱ひげ図の「箱」の左端・中の線・右端は、それぞれ何を表しているか。また、箱の中にはデータのおよそ何%がふくまれるか。
解答
左端：第1四分位数、中の線：中央値、右端：第3四分位数
箱の中には、データのおよそ半分（約 \(50\%\)）がふくまれる。
(9) 箱ひげ図で、左のひげと右のひげは、それぞれどこからどこまでを表しているか。
解答
左のひげ：最小値から第1四分位数まで
右のひげ：第3四分位数から最大値まで
(10) \(20\) 人のテストの点数の中央値が \(62\) 点だった。\(62\) 点以上の人は少なくとも何人いるといえるか。
解答
\(20\) 人の中央値は、小さい方から \(10\) 番目と \(11\) 番目の平均。\(11\) 番目から \(20\) 番目の \(10\) 人は \(62\) 点以上なので、少なくとも \(10\) 人
(11) \(20\) 人のテストの点数の第1四分位数が \(45\) 点だった。\(45\) 点以下の人は少なくとも何人いるといえるか。
解答
第1四分位数は前半10人の中央値で、小さい方から \(5\) 番目と \(6\) 番目の平均。\(1\) 番目から \(5\) 番目までは \(45\) 点以下なので、少なくとも \(5\) 人
(12) 箱ひげ図について、次の (ア)〜(エ) のうち正しいものをすべて選べ。
(ア) 箱が長いほど、データの個数が多い。
(イ) 箱ひげ図から平均値を読み取ることができる。
(ウ) 中央値は必ず箱の中（両端をふくむ）にある。
(エ) 箱の中には、データのおよそ半分がふくまれる。
解答
(ウ)、(エ)
(ア) 箱の長さは四分位範囲で、データの散らばりを表す。個数とは関係ない。
(イ) 箱ひげ図は5つの値（最小値・四分位数・最大値）から作るので、平均値は分からない。
標準¶
いろいろなデータ¶
確認する解説ページ：四分位数と箱ひげ図
(13) 次のデータの最小値・第1四分位数・中央値・第3四分位数・最大値と、四分位範囲を求めよ。
解答
前半 \(41, 45, 47, 50, 52, 55\)、後半 \(58, 60, 61, 65, 70, 78\)
最小値 \(41\)、\(Q_1 = \dfrac{47 + 50}{2} = 48.5\)、中央値 \(\dfrac{55 + 58}{2} = 56.5\)、\(Q_3 = \dfrac{61 + 65}{2} = 63\)、最大値 \(78\)
四分位範囲 \(= 63 - 48.5 = 14.5\)
(14) 次の7人の記録について答えよ。
(a) 範囲と四分位範囲を求めよ。
(b) \(30\) のように、ほかとかけはなれた値の影響を受けにくいのは、範囲と四分位範囲のどちらか。
解答
(a) 範囲 \(= 30 - 6 = 24\)。前半 \(6, 9, 11\)、後半 \(16, 19, 30\) より \(Q_1 = 9\)、\(Q_3 = 19\)。四分位範囲 \(= 10\)
(b) 四分位範囲。最大値・最小値を使わないので、かけはなれた値の影響を受けにくい。
(15) 次の8個のデータは小さい順に並んでいる。中央値が \(8\) のとき、\(a\) の値を求めよ。また、第1四分位数を求めよ。
解答
中央値は4番目と5番目の平均。\(\dfrac{a + 9}{2} = 8\) より \(a = 7\)
前半 \(2, 4, 5, 7\) より \(Q_1 = \dfrac{4 + 5}{2} = 4.5\)
(16) (2) のデータに、新しく \(40\) という値が加わった。最小値・第1四分位数・中央値・第3四分位数・最大値を求め、(2) と比べてどう変わったか答えよ。
解答
\(3, 6, 8, 10, 13, 15, 17, 20, 22, 40\) の10個。前半 \(3, 6, 8, 10, 13\)、後半 \(15, 17, 20, 22, 40\)
最小値 \(3\)、\(Q_1 = 8\)、中央値 \(14\)、\(Q_3 = 20\)、最大値 \(40\)
最大値は \(22\) から \(40\) に大きく変わったが、四分位数はそれぞれ \(1\)〜\(1.5\) ほどしか変わらない。
2つの集団を比べる¶
確認する解説ページ：四分位数と箱ひげ図
(17)〜(20) は、A組とB組（どちらも \(30\) 人）のテストの点数を表した次の値を使う。
| 最小値 | 第1四分位数 | 中央値 | 第3四分位数 | 最大値 | |
|---|---|---|---|---|---|
| A組 | \(35\) | \(52\) | \(63\) | \(74\) | \(95\) |
| B組 | \(28\) | \(58\) | \(64\) | \(68\) | \(88\) |
(17) それぞれの組の範囲と四分位範囲を求めよ。
解答
A組：範囲 \(95 - 35 = 60\)、四分位範囲 \(74 - 52 = 22\)
B組：範囲 \(88 - 28 = 60\)、四分位範囲 \(68 - 58 = 10\)
(18) 中央付近のデータがより集まっているのはどちらの組か。理由とともに答えよ。
解答
B組。範囲は同じだが、四分位範囲が小さい（箱が短い）から。
(19) \(70\) 点以上の人が \(8\) 人以上いると、必ずいえるのはどちらの組か。
解答
A組。\(30\) 人の第3四分位数は、小さい方から \(23\) 番目の値。A組は \(Q_3 = 74\) なので、\(23\) 番目から \(30\) 番目の \(8\) 人は \(74\) 点以上。
B組は \(Q_3 = 68\) なので、\(70\) 点以上が \(8\) 人いるとはいえない。
(20) \(64\) 点以上の人が \(15\) 人以上いると、必ずいえるのはどちらの組か。
解答
B組。\(30\) 人の中央値は \(15\) 番目と \(16\) 番目の平均。B組は中央値が \(64\) なので、\(16\) 番目から \(30\) 番目の \(15\) 人は \(64\) 点以上。
A組は中央値が \(63\) なので、\(64\) 点以上が \(15\) 人いるとはいえない。
もう少し練習¶
確認する解説ページ：四分位数と箱ひげ図
(21) 次の5個のデータの第1四分位数・第3四分位数・四分位範囲を求めよ。
解答
中央値は \(15\)。前半 \(8, 12\)、後半 \(20, 26\)
\(Q_1 = \dfrac{8 + 12}{2} = 10\)、\(Q_3 = \dfrac{20 + 26}{2} = 23\)、四分位範囲 \(= 13\)
(22) 次の13個のデータの第1四分位数・中央値・第3四分位数・四分位範囲を求めよ。
解答
中央値は7番目の \(11\)。前半 \(2, 4, 5, 7, 8, 9\)、後半 \(12, 14, 15, 17, 18, 20\)
\(Q_1 = \dfrac{5 + 7}{2} = 6\)、\(Q_3 = \dfrac{15 + 17}{2} = 16\)、四分位範囲 \(= 10\)
(23) (17)〜(20) の表について、次のことは「必ずいえる」か「いえない」か答えよ。
(a) A組には \(35\) 点の人がいる。
(b) A組には \(60\) 点の人がいる。
解答
(a) 必ずいえる。最小値は実際のデータの値だから。
(b) いえない。箱ひげ図からは、\(60\) 点ちょうどの人がいるかどうかは分からない。
(24) (17)〜(20) の表で、B組で \(58\) 点以下の人は少なくとも何人いるといえるか。
解答
\(30\) 人の前半 \(15\) 人の中央値が第1四分位数で、小さい方から \(8\) 番目の値。\(1\) 番目から \(8\) 番目までは \(58\) 点以下なので、少なくとも \(8\) 人
発展¶
(25) 次の8個のデータは小さい順に並んでいて、\(6 \leqq x \leqq 10\) である。中央値が \(7.5\) のとき、\(x\) の値と、第1四分位数・第3四分位数・平均値を求めよ。
解答
中央値 \(\dfrac{6 + x}{2} = 7.5\) より \(x = 9\)
\(Q_1 = \dfrac{3 + 4}{2} = 3.5\)、\(Q_3 = \dfrac{10 + 12}{2} = 11\)
平均値 \(= 62 \div 8 = 7.75\)
(26) 9人の記録は次のとおりで、中央値は \(18\) である。ここにもう1人の記録が加わっても中央値が \(18\) のままであるためには、加わる記録はいくつであればよいか。
解答
10人になると、中央値は5番目と6番目の平均になる。
加わる記録を \(v\) とする。\(v \leqq 16\) なら5番目と6番目は \(16, 18\) で中央値は \(17\)。\(v \geqq 21\) なら \(18, 21\) で中央値は \(19.5\)。
\(\dfrac{18 + 6\text{番目}}{2} = 18\) となるには6番目も \(18\) である必要があるので、\(v = 18\)
(27) (14) のデータについて、平均値と中央値を求めよ。また、箱ひげ図の中に平均値を書き入れると、平均値は箱の中にあるか。
解答
平均値 \(= 105 \div 7 = 15\)、中央値は \(14\)
\(Q_1 = 9\)、\(Q_3 = 19\) なので、平均値 \(15\) は箱の中にある（中央値より少し右）。
(28) あるデータの箱ひげ図で、左のひげがとても短く、右のひげがとても長かった。このデータについて分かることを説明せよ。
解答
小さい方の約 \(25\%\) のデータは、第1四分位数の近くに集まっている。
大きい方の約 \(25\%\) のデータは、第3四分位数から最大値まで広く散らばっていて、かけはなれて大きい値がある可能性がある。
(29) 11個のデータで、最小値 \(2\)、第1四分位数 \(5\)、中央値 \(9\)、第3四分位数 \(14\)、最大値 \(20\) となるデータの例を1つつくれ。
解答
例：\(2, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 16, 20\)
中央値は6番目 \(9\)。前半 \(2, 4, 5, 6, 8\) の中央値が \(5\)、後半 \(10, 12, 14, 16, 20\) の中央値が \(14\) になっている。（ほかの答えもある）
(30) 四分位範囲が \(0\) になるのは、どんなデータのときか説明せよ。
解答
第1四分位数と第3四分位数が等しいとき。つまり、データを小さい順に並べたときの、まん中あたりの約半分の値がすべて同じ値のとき。