角錐と円錐の体積と表面積¶

角錐・円錐とは¶

角錐（かくすい）とは

1つの多角形の面（底面）と、1つの頂点（頂点）をもち、側面がすべて三角形になっている立体。

底面の形によって「三角錐」「四角錐」「五角錐」などと呼ぶ
底面が正三角形・正方形などの正多角形で、頂点が底面の真上にある → 正三角錐・正四角錐

円錐（えんすい）とは

1つの円の面（底面）と、1つの頂点をもち、側面が曲面になっている立体。

頂点から底面の円周上の任意の点まで引いた線分を 母線（ぼせん） という
正円錐では、すべての母線の長さが等しい

各部の名称¶

部分	説明
底面（ていめん）	下にある面（角錐：多角形、円錐：円）
頂点（ちょうてん）	上にある1つの点
側面（そくめん）	底面と頂点をつなぐ面（角錐：三角形、円錐：曲面）
高さ（h）	頂点から底面に下ろした垂線の長さ
母線（l）	円錐の頂点から底面の円周上の点までの線分

展開図¶

四角錐の展開図¶

四角錐の展開図の構成

底面：正方形（または長方形）× 1枚
側面：三角形 × 4枚

円錐の展開図¶

円錐を展開すると、側面は扇形になる。

円錐の展開図の構成

底面：円 × 1枚（半径 $r$）
側面：扇形 × 1枚（半径 = 母線 $l$、弧の長さ = $2\pi r$）

重要：側面の扇形の半径は「母線 l」

展開図の扇形の半径は 底面の半径 $r$ ではなく、母線 $l$ である。混同しないように注意！

体積の公式¶

柱と錐の関係¶

同じ底面積・高さの角錐の体積は、角柱の体積の $\dfrac{1}{3}$ になる。

\[\text{角柱の体積} = S \times h \quad \longrightarrow \quad \text{角錐の体積} = \frac{1}{3} \times S \times h\]

錐体の体積公式

\[\boxed{V = \frac{1}{3} \times S \times h}\]

$S$：底面積
$h$：高さ

角錐・円錐どちらも同じ公式（$\dfrac{1}{3}$ を掛けることを忘れずに！）

円錐の底面積¶

円錐の底面は円なので：

\[S = \pi r^2\]

よって円錐の体積は：

\[V = \frac{1}{3} \times \pi r^2 \times h = \frac{1}{3}\pi r^2 h\]

表面積の公式¶

円錐の側面積¶

展開したときの扇形の面積が側面積になる。

扇形の面積の公式（扇形と弧の長さと面積で学習）：

\[\text{扇形の面積} = \frac{1}{2} \times \text{弧の長さ} \times \text{半径}\]

円錐の場合、扇形の半径 $=$ 母線 $l$、弧の長さ $=$ 底面の円周 $= 2\pi r$ なので：

\[\text{側面積} = \frac{1}{2} \times 2\pi r \times l = \pi r l\]

円錐の表面積の公式

\[\boxed{\text{表面積} = \pi r^2 + \pi r l}\]

$r$：底面の半径
$l$：母線の長さ
$\pi r^2$：底面積（1枚）
$\pi r l$：側面積（扇形）

覚え方

$\pi r^2 + \pi r l = \pi r(r + l)$ とまとめることもできる。

例題¶

例題１　四角錐の体積¶

底面が $1$ 辺 $6$ cm の正方形で、高さが $8$ cm の正四角錐の体積を求めよ。

解答

底面積 $S = 6 \times 6 = 36$ (cm²)

\[V = \frac{1}{3} \times 36 \times 8 = \frac{288}{3} = 96 \text{ (cm³)}\]

例題２　三角錐の体積¶

底面が底辺 $4$ cm、高さ $3$ cm の直角三角形で、三角錐の高さが $6$ cm のとき、体積を求めよ。

解答

底面積（直角三角形）$S = \dfrac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6$ (cm²)

\[V = \frac{1}{3} \times 6 \times 6 = \frac{36}{3} = 12 \text{ (cm³)}\]

例題３　円錐の体積と表面積¶

半径 $3$ cm、母線 $5$ cm の円錐の体積と表面積を求めよ。

解答

高さを求める（三平方の定理）：

$l^2 = r^2 + h^2$ より $h^2 = l^2 - r^2 = 25 - 9 = 16$

$h = 4$ cm

体積：

$V = \dfrac{1}{3} \times \pi \times 3^2 \times 4 = \dfrac{1}{3} \times 9\pi \times 4 = 12\pi$ (cm³)

表面積：

底面積 $= \pi \times 3^2 = 9\pi$ cm²

側面積 $= \pi \times 3 \times 5 = 15\pi$ cm²

表面積 $= 9\pi + 15\pi = 24\pi$ (cm²)

例題４　円錐の側面積の中心角¶

半径 $2$ cm、母線 $6$ cm の円錐がある。展開図の側面（扇形）の中心角を求めよ。

解答

扇形の弧の長さ $=$ 底面の円周 $= 2\pi \times 2 = 4\pi$ cm

扇形の半径（母線）$l = 6$ cm なので：

\[\text{中心角} = \frac{\text{弧の長さ}}{2\pi l} \times 360 = \frac{4\pi}{2\pi \times 6} \times 360 = \frac{4\pi}{12\pi} \times 360 = \frac{1}{3} \times 360 = 120 \text{（度）}\]

答え：120°

練習問題¶

(1) 次の立体の体積を求めよ。

(a) 底面が $1$ 辺 $3$ cm の正方形で、高さが $9$ cm の正四角錐

(b) 底面が底辺 $6$ cm、高さ $5$ cm の三角形で、錐の高さが $8$ cm の三角錐

(c) 半径 $4$ cm、高さ $9$ cm の円錐

解答

(a) $S = 3 \times 3 = 9$ cm²

$V = \dfrac{1}{3} \times 9 \times 9 = 27$ (cm³)

(b) $S = \dfrac{1}{2} \times 6 \times 5 = 15$ cm²

$V = \dfrac{1}{3} \times 15 \times 8 = 40$ (cm³)

(c) $V = \dfrac{1}{3} \times \pi \times 4^2 \times 9 = \dfrac{1}{3} \times 16\pi \times 9 = 48\pi$ (cm³)

(2) 半径 $5$ cm、母線 $13$ cm の円錐の体積と表面積を求めよ。

解答

高さ： $h = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ cm

体積：

$V = \dfrac{1}{3} \times \pi \times 5^2 \times 12 = \dfrac{1}{3} \times 25\pi \times 12 = 100\pi$ (cm³)

表面積：

底面積 $= \pi \times 5^2 = 25\pi$ cm²

側面積 $= \pi \times 5 \times 13 = 65\pi$ cm²

表面積 $= 25\pi + 65\pi = 90\pi$ (cm²)

(3) 体積が $48\pi$ cm³、高さが $4$ cm の円錐がある。底面の半径を求めよ。

解答

$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h$ に $V = 48\pi$、$h = 4$ を代入：

$48\pi = \dfrac{1}{3} \times \pi r^2 \times 4$

$48\pi = \dfrac{4\pi r^2}{3}$

$r^2 = \dfrac{48\pi \times 3}{4\pi} = 36$

$r = 6$ (cm)　（$r > 0$ より）

答え：半径 $6$ cm

(4)（発展） 底面が $1$ 辺 $6$ cm の正方形で、高さが $4$ cm の正四角錐の表面積を求めよ。ただし側面の三角形の斜辺（斜高）は $5$ cm とする。

解答

底面積 $= 6 \times 6 = 36$ cm²

側面は三角形 4 枚（底辺 $6$ cm、高さ $5$ cm）：

三角形 1 枚の面積 $= \dfrac{1}{2} \times 6 \times 5 = 15$ cm²

側面積の合計 $= 15 \times 4 = 60$ cm²

表面積 $= 36 + 60 = 96$ (cm²)

まとめ¶

体積の公式

\[V = \frac{1}{3} \times S \times h \quad \text{（底面積 × 高さ × } \frac{1}{3} \text{）}\]

立体	底面積 S
四角錐（縦 $a$、横 $b$）	$S = ab$
三角錐（底辺 $a$、高さ $b$）	$S = \dfrac{1}{2}ab$
円錐（半径 $r$）	$S = \pi r^2$

表面積の公式

角錐： $$\text{表面積} = \text{底面積} + \text{側面（三角形）の合計面積}$$

円錐： $$\text{表面積} = \pi r^2 + \pi r l$$

（$r$：底面の半径、$l$：母線の長さ）

計算のコツ

角錐・円錐の体積は柱の $\dfrac{1}{3}$（必ず $\dfrac{1}{3}$ を掛ける）
円錐の側面積は $\pi r l$（母線 $l$ を使う）
高さが不明なときは、母線と半径から三平方の定理で求める
展開図の扇形の半径 = 母線 $l$（底面の半径 $r$ ではない）

立体	底面積 S
四角錐（縦 \(a\)、横 \(b\)）	\(S = ab\)
三角錐（底辺 \(a\)、高さ \(b\)）	\(S = \dfrac{1}{2}ab\)
円錐（半径 \(r\)）	\(S = \pi r^2\)