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角柱と円柱の体積と表面積

角柱・円柱とは

角柱（かくちゅう）とは

2つの合同な多角形の面（底面）が平行に向き合い、側面がすべて長方形になっている立体。

  • 底面の形によって「三角柱」「四角柱」「五角柱」などと呼ぶ
  • 底面が正三角形 → 正三角柱、底面が正方形 → 正四角柱（= 直方体）

円柱（えんちゅう）とは

2つの合同な円の面（底面）が平行に向き合い、側面が曲面になっている立体。

円柱は「底面が円の柱」と考えればよい。

各部の名称

部分 説明
底面（ていめん） 上下にある合同な面（角柱：多角形、円柱：円）
側面（そくめん） 上下の底面をつなぐ面（角柱：長方形、円柱：曲面）
底面積（S） 底面 1 枚の面積
高さ（h） 2つの底面の間の距離

展開図

立体を切り開いて平面に広げた図を展開図という。

三角柱の展開図

三角柱の展開図の構成

  • 底面：三角形 × 2枚
  • 側面：長方形 × 3枚（各辺の長さ × 高さ）

円柱の展開図

円柱の展開図の構成

  • 底面：円 × 2枚（面積 \(\pi r^2\) ずつ）
  • 側面：長方形 × 1枚
    • 縦 = 高さ \(h\)
    • 横 = 円周の長さ \(2\pi r\)（← ここが重要！）

体積の公式

考え方

底面を積み重ねると柱の体積になる。

\[\text{体積} = \text{底面積} \times \text{高さ}\]

柱体の体積公式

\[\boxed{V = S \times h}\]
  • \(S\)：底面積
  • \(h\)：高さ

角柱・円柱どちらも同じ公式。

円柱の底面積

円柱の底面は円なので：

\[S = \pi r^2\]

よって円柱の体積は：

\[V = \pi r^2 \times h = \pi r^2 h\]

表面積の公式

考え方

表面積 = 底面積 × 2 + 側面積

側面積の求め方

角柱の側面積：

側面は長方形なので、展開図で「底面の周の長さ × 高さ」になる。

\[\text{側面積} = \text{底面の周の長さ} \times h\]

円柱の側面積：

側面を展開すると長方形になる。横の長さ = 底面の円周 \(2\pi r\)。

\[\text{側面積} = 2\pi r \times h\]

表面積の公式まとめ

角柱： $\(\boxed{\text{表面積} = S \times 2 + \text{底面の周の長さ} \times h}\)$

円柱： $\(\boxed{\text{表面積} = \pi r^2 \times 2 + 2\pi r \times h}\)$

例題

例題１　四角柱（直方体）の体積と表面積

縦 \(3\) cm、横 \(4\) cm、高さ \(5\) cm の直方体の体積と表面積を求めよ。

解答

体積：

底面積 \(S = 3 \times 4 = 12\) (cm²)

\(V = 12 \times 5 = 60\) (cm³)

表面積：

底面積 \(S = 12\) cm²（2枚）

側面積：底面の周の長さ \(= (3+4) \times 2 = 14\) cm

側面積 \(= 14 \times 5 = 70\) cm²

表面積 \(= 12 \times 2 + 70 = 24 + 70 = 94\) (cm²)

例題２　三角柱の体積と表面積

底面が底辺 \(6\) cm、高さ \(4\) cm の直角三角形で、三角柱の高さが \(10\) cm のとき、体積と表面積を求めよ。ただし斜辺は \(5\) cm とする。

解答

体積：

底面積（直角三角形）\(S = \dfrac{1}{2} \times 6 \times 4 = 12\) (cm²)

\(V = 12 \times 10 = 120\) (cm³)

表面積：

底面積 \(S = 12\) cm²（2枚）→ \(12 \times 2 = 24\) cm²

側面は長方形 3 枚（底面の各辺 × 高さ）：

  • 底辺 \(6\) cm の面：\(6 \times 10 = 60\) cm²
  • 高さ \(4\) cm の面：\(4 \times 10 = 40\) cm²
  • 斜辺 \(5\) cm の面：\(5 \times 10 = 50\) cm²

側面積の合計 \(= 60 + 40 + 50 = 150\) cm²

表面積 \(= 24 + 150 = 174\) (cm²)

例題３　円柱の体積と表面積

半径 \(3\) cm、高さ \(8\) cm の円柱の体積と表面積を求めよ。

解答

体積：

\(V = \pi \times 3^2 \times 8 = 9\pi \times 8 = 72\pi\) (cm³)

表面積：

底面積 \(= \pi \times 3^2 = 9\pi\) cm²（2枚）→ \(9\pi \times 2 = 18\pi\) cm²

側面積 \(= 2\pi \times 3 \times 8 = 48\pi\) cm²

表面積 \(= 18\pi + 48\pi = 66\pi\) (cm²)

練習問題

(1) 次の立体の体積を求めよ。

(a) 底面が \(1\) 辺 \(5\) cm の正方形で、高さが \(7\) cm の四角柱

(b) 底面が底辺 \(8\) cm、高さ \(6\) cm の三角形で、柱の高さが \(12\) cm の三角柱

(c) 半径 \(4\) cm、高さ \(9\) cm の円柱

解答

(a) \(S = 5 \times 5 = 25\) cm²、\(V = 25 \times 7 = 175\) (cm³)

(b) \(S = \dfrac{1}{2} \times 8 \times 6 = 24\) cm²、\(V = 24 \times 12 = 288\) (cm³)

(c) \(V = \pi \times 4^2 \times 9 = 16\pi \times 9 = 144\pi\) (cm³)

(2) 次の立体の表面積を求めよ。

(a) 縦 \(2\) cm、横 \(5\) cm、高さ \(6\) cm の直方体

(b) 半径 \(5\) cm、高さ \(12\) cm の円柱

解答

(a)

底面積 \(S = 2 \times 5 = 10\) cm²（2枚）→ \(10 \times 2 = 20\) cm²

底面の周の長さ \(= (2+5) \times 2 = 14\) cm

側面積 \(= 14 \times 6 = 84\) cm²

表面積 \(= 20 + 84 = 104\) (cm²)

(b)

底面積 \(= \pi \times 5^2 = 25\pi\) cm²（2枚）→ \(25\pi \times 2 = 50\pi\) cm²

側面積 \(= 2\pi \times 5 \times 12 = 120\pi\) cm²

表面積 \(= 50\pi + 120\pi = 170\pi\) (cm²)

(3) 底面の半径が \(6\) cm の円柱がある。体積が \(252\pi\) cm³ のとき、高さを求めよ。

解答

\(V = \pi r^2 h\) に \(V = 252\pi\)、\(r = 6\) を代入。

\(252\pi = \pi \times 36 \times h\)

\(252\pi = 36\pi h\)

\(h = \dfrac{252\pi}{36\pi} = 7\)

答え：高さ \(7\) cm

(4)（発展） 底面が正六角形で、1辺が \(4\) cm、高さが \(10\) cm の六角柱がある。底面の正六角形の面積は \(24\sqrt{3}\) cm² とする。

(a) 体積を求めよ。

(b) 表面積を求めよ。

解答

(a) \(V = 24\sqrt{3} \times 10 = 240\sqrt{3}\) (cm³)

(b)

底面積 \(= 24\sqrt{3}\) cm²（2枚）→ \(48\sqrt{3}\) cm²

正六角形の周の長さ \(= 4 \times 6 = 24\) cm

側面積 \(= 24 \times 10 = 240\) cm²

表面積 \(= 48\sqrt{3} + 240\) (cm²)

まとめ

体積の公式

\[V = S \times h \quad \text{（底面積 × 高さ）}\]
立体 底面積 S
四角柱（縦 \(a\)、横 \(b\)） \(S = ab\)
三角柱（底辺 \(a\)、高さ \(b\)） \(S = \dfrac{1}{2}ab\)
円柱（半径 \(r\)） \(S = \pi r^2\)

表面積の公式

\[\text{表面積} = \text{底面積} \times 2 + \text{側面積}\]
立体 側面積
角柱 底面の周の長さ \(\times h\)
円柱 \(2\pi r \times h\)

計算のコツ

  1. 底面積を先に求める
  2. 展開図をイメージして側面積を求める
  3. 円柱の側面積は「円周 × 高さ」を忘れずに
  4. 答えは \(\pi\) をつけたまま（数値に変換しない）