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扇形の弧の長さと面積

扇形とは

扇形（おうぎがた） とは、円の中心から2本の半径を引き、その間の弧（円周の一部）で囲まれた図形のこと。

用語 説明
半径（r） 中心 O から円周までの距離
中心角（a°） 2 本の半径がつくる角度
弧（arc） 扇形の曲線部分（円周の一部）

円の復習

扇形は円の一部なので、まず円の公式を確認する。

円の公式

半径 \(r\) の円について：

\[\text{円周の長さ} = 2\pi r\]
\[\text{円の面積} = \pi r^2\]

円周率は π を使う

中学数学では円周率を \(\pi\)（パイ） で表す。

  • 小学校では \(3.14\) を使ったが、中学以降は \(\pi\) のまま答えるのが基本。
  • \(\pi \approx 3.14159\cdots\) だが、答えに代入せず「\(6\pi\)」「\(9\pi\) cm²」のように書く。

扇形の弧の長さ

考え方

扇形の弧は円周の一部。中心角が大きいほど弧も長くなる。

中心角 \(a°\) の扇形は、円全体（\(360°\)）の \(\dfrac{a}{360}\) の部分。

公式

\[\boxed{\text{弧の長さ} = 2\pi r \times \frac{a}{360}}\]
  • \(r\)：半径
  • \(a\)：中心角（度数）

公式の覚え方

円周の長さ \(2\pi r\) に、円全体に対する割合 \(\dfrac{a}{360}\) をかけるだけ。

扇形の面積

考え方

扇形の面積も円の面積の一部。中心角の割合でかける。

\[\text{面積} = \pi r^2 \times \frac{a}{360}\]

公式

\[\boxed{\text{扇形の面積} = \pi r^2 \times \frac{a}{360}}\]

2 つの公式をまとめて確認

扇形の公式まとめ

半径 \(r\)、中心角 \(a°\) の扇形について：

\[\text{弧の長さ} \ell = 2\pi r \times \frac{a}{360}\]
\[\text{面積} S = \pi r^2 \times \frac{a}{360}\]

覚え方： どちらも「円の公式 × \(\dfrac{a}{360}\)」

例題で確認

例題１　弧の長さを求める

半径 \(6\) cm、中心角 \(120°\) の扇形の弧の長さを求めよ。

解答
\[\ell = 2\pi \times 6 \times \frac{120}{360}\]
\[= 12\pi \times \frac{1}{3}\]
\[= 4\pi \text{ (cm)}\]

例題２　面積を求める

半径 \(6\) cm、中心角 \(120°\) の扇形の面積を求めよ。

解答
\[S = \pi \times 6^2 \times \frac{120}{360}\]
\[= 36\pi \times \frac{1}{3}\]
\[= 12\pi \text{ (cm}^2\text{)}\]

例題３　中心角を求める

半径 \(9\) cm、弧の長さが \(6\pi\) cm の扇形の中心角を求めよ。

解答

公式 \(\ell = 2\pi r \times \dfrac{a}{360}\) に \(\ell = 6\pi\)、\(r = 9\) を代入する。

\[6\pi = 2\pi \times 9 \times \frac{a}{360}\]
\[6\pi = 18\pi \times \frac{a}{360}\]

両辺を \(18\pi\) で割る：

\[\frac{a}{360} = \frac{6\pi}{18\pi} = \frac{1}{3}\]
\[a = 360 \times \frac{1}{3} = 120\]

答え：中心角 \(120°\)

例題４　半径を求める

中心角 \(90°\)、面積が \(16\pi\) cm² の扇形の半径を求めよ。

解答

公式 \(S = \pi r^2 \times \dfrac{a}{360}\) に \(S = 16\pi\)、\(a = 90\) を代入する。

\[16\pi = \pi r^2 \times \frac{90}{360}\]
\[16\pi = \pi r^2 \times \frac{1}{4}\]

両辺を \(\pi\) で割る：

\[16 = r^2 \times \frac{1}{4}\]
\[r^2 = 64\]
\[r = 8 \text{ (cm)}\]

答え：半径 \(8\) cm

中心角・弧の長さ・面積の関係図

よく使う中心角の割合

中心角 割合（\(\dfrac{a}{360}\)） 弧の長さ 面積
\(30°\) \(\dfrac{1}{12}\) \(\dfrac{\pi r}{6}\) \(\dfrac{\pi r^2}{12}\)
\(45°\) \(\dfrac{1}{8}\) \(\dfrac{\pi r}{4}\) \(\dfrac{\pi r^2}{8}\)
\(60°\) \(\dfrac{1}{6}\) \(\dfrac{\pi r}{3}\) \(\dfrac{\pi r^2}{6}\)
\(90°\) \(\dfrac{1}{4}\) \(\dfrac{\pi r}{2}\) \(\dfrac{\pi r^2}{4}\)
\(120°\) \(\dfrac{1}{3}\) \(\dfrac{2\pi r}{3}\) \(\dfrac{\pi r^2}{3}\)
\(180°\) \(\dfrac{1}{2}\) \(\pi r\) \(\dfrac{\pi r^2}{2}\)
\(360°\) \(1\) \(2\pi r\) \(\pi r^2\)

練習問題

(1) 次の扇形の弧の長さと面積を求めよ。

(a) 半径 \(3\) cm、中心角 \(60°\)

(b) 半径 \(8\) cm、中心角 \(45°\)

(c) 半径 \(5\) cm、中心角 \(270°\)

解答

(a) 半径 3 cm、中心角 60°

弧の長さ：\(\ell = 2\pi \times 3 \times \dfrac{60}{360} = 6\pi \times \dfrac{1}{6} = \pi\) (cm)

面積：\(S = \pi \times 3^2 \times \dfrac{60}{360} = 9\pi \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{3}{2}\pi\) (cm²)

(b) 半径 8 cm、中心角 45°

弧の長さ：\(\ell = 2\pi \times 8 \times \dfrac{45}{360} = 16\pi \times \dfrac{1}{8} = 2\pi\) (cm)

面積：\(S = \pi \times 8^2 \times \dfrac{45}{360} = 64\pi \times \dfrac{1}{8} = 8\pi\) (cm²)

(c) 半径 5 cm、中心角 270°

弧の長さ：\(\ell = 2\pi \times 5 \times \dfrac{270}{360} = 10\pi \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{15}{2}\pi\) (cm)

面積：\(S = \pi \times 5^2 \times \dfrac{270}{360} = 25\pi \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{75}{4}\pi\) (cm²)

(2) 次の扇形の中心角を求めよ。

(a) 半径 \(4\) cm、弧の長さ \(2\pi\) cm

(b) 半径 \(10\) cm、面積 \(25\pi\) cm²

解答

(a) 半径 4 cm、弧の長さ 2π cm

\(2\pi = 2\pi \times 4 \times \dfrac{a}{360}\)

\(2\pi = 8\pi \times \dfrac{a}{360}\)

\(\dfrac{a}{360} = \dfrac{2\pi}{8\pi} = \dfrac{1}{4}\)

\(a = 360 \times \dfrac{1}{4} = 90\)

答え：90°

(b) 半径 10 cm、面積 25π cm²

\(25\pi = \pi \times 10^2 \times \dfrac{a}{360}\)

\(25\pi = 100\pi \times \dfrac{a}{360}\)

\(\dfrac{a}{360} = \dfrac{25\pi}{100\pi} = \dfrac{1}{4}\)

\(a = 90\)

答え：90°

(3) 次の扇形の半径を求めよ。

(a) 中心角 \(60°\)、弧の長さ \(4\pi\) cm

(b) 中心角 \(120°\)、面積 \(27\pi\) cm²

解答

(a) 中心角 60°、弧の長さ 4π cm

\(4\pi = 2\pi r \times \dfrac{60}{360} = 2\pi r \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{\pi r}{3}\)

\(4\pi = \dfrac{\pi r}{3}\)

\(r = 4\pi \times \dfrac{3}{\pi} = 12\)

答え：半径 12 cm

(b) 中心角 120°、面積 27π cm²

\(27\pi = \pi r^2 \times \dfrac{120}{360} = \pi r^2 \times \dfrac{1}{3}\)

\(27\pi = \dfrac{\pi r^2}{3}\)

\(r^2 = 27\pi \times \dfrac{3}{\pi} = 81\)

\(r = 9\)

答え：半径 9 cm

(4)（発展） 半径 \(12\) cm の円から、中心角 \(60°\) の扇形を切り取った。残った図形の面積を求めよ。

解答

切り取った扇形の面積：

\(S_{\text{扇形}} = \pi \times 12^2 \times \dfrac{60}{360} = 144\pi \times \dfrac{1}{6} = 24\pi\) (cm²)

円全体の面積：

\(S_{\text{円}} = \pi \times 12^2 = 144\pi\) (cm²)

残った図形の面積：

\(144\pi - 24\pi = 120\pi\) (cm²)

答え：\(120\pi\) cm²

(5)（発展） 右の図のような、半径 \(10\) cm、中心角 \(90°\) の扇形がある。この扇形の周の長さ（弧と 2 本の半径の合計）を求めよ。

解答

弧の長さ：\(\ell = 2\pi \times 10 \times \dfrac{90}{360} = 20\pi \times \dfrac{1}{4} = 5\pi\) (cm)

半径 2 本の長さ：\(10 + 10 = 20\) (cm)

周の長さ：\(5\pi + 20\) (cm)

答え：\((5\pi + 20)\) cm

注意

「周の長さ」には弧だけでなく、半径 2 本も含む。\(\pi\) のついた項とつかない項は足せないのでそのままにする。

まとめ

扇形の公式

半径 \(r\)、中心角 \(a°\) の扇形：

\[\text{弧の長さ} = 2\pi r \times \frac{a}{360}\]
\[\text{面積} = \pi r^2 \times \frac{a}{360}\]

計算のコツ

  1. まず \(\dfrac{a}{360}\) を約分して簡単な分数にする
  2. 次に \(2\pi r\) や \(\pi r^2\) をかける
  3. 答えは \(\pi\) をつけたまま書く（例：\(6\pi\) cm、\(12\pi\) cm²）

π を数値にしない

答えを \(3.14\) で計算してはいけない。

  • 正しい答え方：\(4\pi\) cm、\(12\pi\) cm²
  • 誤った答え方：\(12.56\) cm、\(37.68\) cm²（π ≒ 3.14 を代入した場合）