平面と直線の位置関係¶

空間の中の「平面」と「直線」¶

平面とは¶

平面（へいめん） とは、どこまでも限りなく広がる平らな面のこと。

机の面・床・壁などをイメージするとよい（ただし、無限に広がると考える）
平面は厚みがない

直線とは¶

直線とは、両方向に限りなく伸びるまっすぐな線のこと。

空間で考える

平面上（2次元）では直線どうしの関係は「交わる」か「平行」の2通りだけだった。

空間（3次元） では、もう1つ「ねじれの位置」という関係が加わる。

直線と直線の位置関係¶

空間内の 2 本の直線には、次の 3 つ の関係がある。

位置関係	意味	同じ平面上にあるか
交わる	1点で交わる	同じ平面上にある
平行	交わらず、延ばしても交わらない	同じ平面上にある
ねじれの位置	交わらず、平行でもない	同じ平面上にない

① 交わる¶

2 本の直線が 1 点で交わる 関係。

交わる

2直線が 1点を共有する。その点を交点という。

② 平行¶

2 本の直線が どこまで延ばしても交わらず、かつ同じ平面上にある 関係。

平行（記号：∥）

\(\ell_1 \parallel \ell_2\) と書く。2 直線は同じ方向に向き、共通点がない。

③ ねじれの位置¶

交わらず、かつ平行でもない関係。同じ平面上に置けない 2 直線。

空間（3 次元）でしか起こらない関係。

ねじれの位置のポイント

交わっていない（共通点がない）
平行でもない（向きが異なる）
同じ平面上に 2 本とも乗せることができない

平面上（2次元）では絶対に起こらない。空間（3次元）特有の関係。

直方体で位置関係をすべて確認しよう¶

直方体の辺を使うと、3つの位置関係をすべて確認できる。

辺 AB に対する各辺の位置関係¶

辺 AB（前面の下辺）を基準にする。

直線と平面の位置関係¶

直線と平面の位置関係は 3 つ ある。

位置関係	意味
平面上にある	直線が平面の中に含まれる
交わる	直線が平面と 1 点で交わる
平行	直線が平面と交わらない（共通点なし）

① 直線が平面上にある¶

直線がまるごと平面の中に含まれている状態。

② 直線が平面と交わる¶

直線が平面に 1 点でつき刺さる状態。

直線が平面に垂直な場合（⊥）¶

交わる角度が 90° のとき、直線は平面に垂直という。

直線が平面に垂直（記号：⊥）

直線 \(\ell\) が平面 \(\alpha\) 上のすべての直線と垂直なとき、\(\ell \perp \alpha\) と書く。

身近な例： 柱（四角柱・円柱）の高さの線と底面の関係

③ 直線が平面に平行¶

直線が平面と 1点も共有しない（交わらない）状態。

直線と平面が平行（記号：∥）

直線 \(\ell\) が平面 \(\alpha\) とまったく交わらないとき、\(\ell \parallel \alpha\) と書く。

身近な例： 机の面（平面）に対して机の真上を水平に飛ぶ飛行機の軌跡

平面と平面の位置関係¶

2 つの平面の位置関係は 2 つ ある。

位置関係	意味
交わる	1 本の直線（交線）を共有する
平行	まったく交わらない

① 2平面が交わる¶

2 つの平面が 1 本の直線（交線） で交わる。

身近な例

床と壁 → 垂直に交わる（交線は壁の端の線）
本を開いたとき → 2 ページが背表紙の線（交線）で交わる

② 2平面が平行¶

2 つの平面がまったく交わらない状態。

身近な例

床と天井 → 平行（どこも交わらない）
重ねた本のページ → 平行な平面

直方体で平面の位置関係を確認¶

直方体 ABCD-EFGH で確認できる平面の関係：

平行な面（∥）：

底面 ABFE ∥ 上面 DCGH
前面 ABCD ∥ 後面 EFGH
左面 ADHE ∥ 右面 BCGF

垂直に交わる面：

底面 ABFE ⊥ 前面 ABCD（交線は辺 AB）
底面 ABFE ⊥ 右面 BCGF（交線は辺 BF）
など

例題¶

例題１　直線と直線の位置関係¶

直方体 ABCD-EFGH で、辺 AE に対する次の辺の位置関係を答えよ。

(1) 辺 BF　　(2) 辺 AB　　(3) 辺 DC　　(4) 辺 HG

解答

辺 AE は「縦の柱」の辺。

(1) 辺 BF：BF も縦の辺。同じ方向で交わらない → 平行

(2) 辺 AB：A を共有している → 交わる

(3) 辺 DC：上面の辺（横向き）。AE と交わらず、方向も異なる → ねじれの位置

(4) 辺 HG：上面の辺（横向き）。AE と交わらず、方向も異なる → ねじれの位置

例題２　直線と平面の位置関係¶

直方体 ABCD-EFGH で、直線と平面の位置関係を答えよ。

(1) 辺 AB と底面 ABFE　　(2) 辺 AE と底面 ABFE　　(3) 辺 DC と底面 ABFE

解答

(1) 辺 AB と底面 ABFE：AB は底面の辺 → 平面上にある

(2) 辺 AE と底面 ABFE：AE は底面に A で交わり、直角に立っている → 垂直（⊥）

(3) 辺 DC と底面 ABFE：DC は上面の辺で底面と交わらない → 平行（∥）

例題３　平面と平面の位置関係¶

直方体 ABCD-EFGH で、次の平面の位置関係を答えよ。

(1) 底面 ABFE と上面 DCGH　　(2) 底面 ABFE と前面 ABCD

解答

(1)：どこも交わらない → 平行（∥）

(2)：辺 AB を共有して交わり、直角をなす → 垂直に交わる

練習問題¶

(1) 直方体 ABCD-EFGH で、辺 CD に対して次のような位置関係にある辺をすべて答えよ。

(a) 平行な辺　　(b) ねじれの位置にある辺　　(c) 交わる辺

解答

辺 CD（上面・前側の横辺）が基準。

(a) 平行な辺：AB、EF、HG

(b) ねじれの位置にある辺：AE、BF、DH、CG（縦の辺すべて）

(c) 交わる辺：DA（D で交わる）、CB（C で交わる）、DH（D で交わる）、CG（C で交わる）

(2) 直方体 ABCD-EFGH で、面 ADHE（左面）に対して次のような位置関係にある辺をすべて答えよ。

(a) 面上にある辺　　(b) 面に垂直な辺　　(c) 面に平行な辺

解答

(a) 面上にある辺：AE、AD、DH、HE（左面の 4 辺）

(b) 面に垂直な辺：AB、DC、EF、HG（横向きで左面に直角に刺さる辺）

(c) 面に平行な辺：BF、CG（右側の縦辺）

(3) 次のうち正しいものに ○、誤っているものに ✗ をつけよ。

(a) 空間内で 2 直線が平行でなく、交わらなければ必ずねじれの位置にある。

(b) 直線が平面に平行なとき、その直線は平面上のすべての直線と平行である。

(c) 2 つの平面が平行なとき、一方の平面上の任意の直線は他方の平面に平行である。

解答

(a) ○：正しい。空間内で「交わらず」「平行でない」なら必ずねじれの位置。

(b) ✗：誤り。直線が平面に平行でも、平面上の直線と「ねじれの位置」になることがある。

(c) ○：正しい。2 平面が平行なら、一方の平面上の直線は他方の平面と交わらないので平行になる。

まとめ¶

直線と直線の位置関係（3通り）

位置関係	特徴	同一平面上
交わる	1点を共有	○
平行（∥）	共通点なし・同方向	○
ねじれの位置	共通点なし・方向が異なる	✗

直線と平面の位置関係（3通り）

位置関係	特徴
平面上にある	直線が平面に含まれる
交わる（垂直を含む）	1点で交わる
平行（∥）	共通点なし

平面と平面の位置関係（2通り）

位置関係	特徴
交わる（垂直を含む）	1本の直線（交線）を共有
平行（∥）	共通点なし

直方体を使って確認するコツ

試験で迷ったら直方体の図をかいて確かめる。

ねじれか確認したいとき → 「同じ面にある？」→ あればねじれでない
平行か確認したいとき → 「同じ方向を向いている？」→ 向いていれば平行候補