比例と反比例 練習問題¶
比例と反比例の解説ページで学んだことを、新しい問題で確かめよう。解説ページの例題や練習問題とはちがう問題です。
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基本¶
座標¶
確認する解説ページ：座標・比例のグラフ
(1) 次の点は第何象限にあるか。どの象限にもない場合は「\(x\) 軸上」「\(y\) 軸上」と答えよ。
解答
A：第2象限 B：第4象限 C：第3象限 D：\(y\) 軸上
(2) 点 \(\text{P}(4,\ -3)\) について、次の点の座標を求めよ。
(a) \(x\) 軸について対称な点 (b) \(y\) 軸について対称な点 (c) 原点について対称な点
解答
(a) \((4,\ 3)\) (b) \((-4,\ -3)\) (c) \((-4,\ 3)\)
(3) 点 \(\text{A}(2,\ 5)\) を、\(x\) 軸の方向に \(-6\)、\(y\) 軸の方向に \(+3\) だけ移動した点の座標を求めよ。
解答
\((2 - 6,\ 5 + 3) = (-4,\ 8)\)
比例・反比例の見分け方と式¶
確認する解説ページ：比例・反比例の式の決定
(4) 次の (ア)〜(エ) で、\(y\) が \(x\) に比例するもの、反比例するもの、どちらでもないものに分けよ。
(ア) 1辺 \(x\) cm の正方形の周の長さ \(y\) cm
(イ) 面積が \(20\) cm² の長方形の、縦 \(x\) cm と横 \(y\) cm
(ウ) 1冊 \(120\) 円のノートを \(x\) 冊買ったときの代金 \(y\) 円
(エ) \(30\) km の道のりのうち、\(x\) km 進んだときの残りの道のり \(y\) km
解答
比例：(ア) \(y = 4x\)、(ウ) \(y = 120x\)
反比例：(イ) \(y = \dfrac{20}{x}\)
どちらでもない：(エ) \(y = 30 - x\)
(5) \(y\) は \(x\) に比例し、\(x = 3\) のとき \(y = -12\) である。\(y\) を \(x\) の式で表し、\(x = -5\) のときの \(y\) の値を求めよ。
解答
\(y = ax\) に代入して \(-12 = 3a\)、\(a = -4\)。よって \(y = -4x\)
\(x = -5\) のとき \(y = 20\)
(6) \(y\) は \(x\) に比例し、\(x = -6\) のとき \(y = 4\) である。\(y\) を \(x\) の式で表し、\(x = 9\) のときの \(y\) の値を求めよ。
解答
\(4 = -6a\) より \(a = -\dfrac{2}{3}\)。よって \(y = -\dfrac{2}{3}x\)
\(x = 9\) のとき \(y = -6\)
(7) \(y\) は \(x\) に反比例し、\(x = 4\) のとき \(y = 5\) である。\(y\) を \(x\) の式で表し、\(x = -10\) のときの \(y\) の値を求めよ。
解答
\(a = xy = 4 \times 5 = 20\)。よって \(y = \dfrac{20}{x}\)
\(x = -10\) のとき \(y = -2\)
(8) \(y\) は \(x\) に反比例し、\(x = -2\) のとき \(y = 9\) である。\(y\) を \(x\) の式で表し、\(x = 3\) のときの \(y\) の値を求めよ。
解答
\(a = (-2) \times 9 = -18\)。よって \(y = -\dfrac{18}{x}\)
\(x = 3\) のとき \(y = -6\)
(9) 次の表で、\(y\) は \(x\) に比例するか、反比例するか。式を求め、空らん ア にあてはまる数を答えよ。
| \(x\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(6\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | \(18\) | \(9\) | \(6\) | ア | \(3\) |
解答
\(xy\) がいつも \(18\) なので反比例。\(y = \dfrac{18}{x}\)
ア：\(\dfrac{18}{4} = \dfrac{9}{2}\)
グラフ¶
(10) 次の比例のグラフをかくとき、原点のほかに通る点を1つ答えよ（\(x\) 座標・\(y\) 座標がともに整数で、\(x > 0\) の点のうち、原点にいちばん近い点）。
(a) \(y = -\dfrac{3}{4}x\) (b) \(y = \dfrac{5}{2}x\)
解答
(a) \(x = 4\) のとき \(y = -3\)。点 \((4,\ -3)\)
(b) \(x = 2\) のとき \(y = 5\)。点 \((2,\ 5)\)
(11) \(y = \dfrac{4}{3}x\) のグラフ上にある点で、\(x\) 座標が \(-6\) の点の座標を求めよ。
解答
\(y = \dfrac{4}{3} \times (-6) = -8\)。点 \((-6,\ -8)\)
(12) \(y = -\dfrac{10}{x}\) のグラフについて答えよ。
(a) グラフは第何象限にあるか。
(b) \(x > 0\) の範囲で \(x\) の値が増えると、\(y\) の値は増えるか、減るか。
解答
(a) 比例定数が負なので、第2象限と第4象限
(b) 増える（例：\(x = 1\) のとき \(y = -10\)、\(x = 2\) のとき \(y = -5\)）
(13) \(y = \dfrac{24}{x}\) のグラフ上にある点のうち、\(x\) 座標・\(y\) 座標がともに正の整数である点は何個あるか。
解答
\(x\) は \(24\) の約数になる。\(1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 8,\ 12,\ 24\) の \(8\) 個
標準¶
グラフから式を求める¶
確認する解説ページ：比例・反比例の式の決定
(14) 比例のグラフが点 \((2,\ 7)\) を通る。このグラフの式を求めよ。また、このグラフ上の点 \((6,\ p)\) の \(p\) の値を求めよ。
解答
\(7 = 2a\) より \(a = \dfrac{7}{2}\)。\(y = \dfrac{7}{2}x\)
\(p = \dfrac{7}{2} \times 6 = 21\)
(15) 反比例のグラフが点 \((-4,\ -3)\) を通る。このグラフの式を求めよ。また、このグラフ上の点 \((q,\ -2)\) の \(q\) の値を求めよ。
解答
\(a = (-4) \times (-3) = 12\)。\(y = \dfrac{12}{x}\)
\(-2 = \dfrac{12}{q}\) より \(q = -6\)
(16) 点 \(\text{A}(4,\ 3)\) は反比例 \(y = \dfrac{a}{x}\) のグラフ上にある。このグラフ上で \(x\) 座標が \(2\) の点 B の座標を求めよ。
解答
\(a = 4 \times 3 = 12\)。\(x = 2\) のとき \(y = 6\)。B\((2,\ 6)\)
(17) \(y\) は \(x\) に比例する。表の空らん ア〜ウ をうめよ。
| \(x\) | \(-2\) | ア | \(1\) | \(4\) |
|---|---|---|---|---|
| \(y\) | \(6\) | \(3\) | イ | ウ |
解答
\(6 = -2a\) より \(a = -3\)、\(y = -3x\)
ア：\(3 = -3x\) より \(x = -1\) イ：\(-3\) ウ：\(-12\)
変域¶
(18) \(y = -3x\) で、\(x\) の変域が \(-2 \leqq x \leqq 4\) のとき、\(y\) の変域を求めよ。
解答
\(x = -2\) のとき \(y = 6\)、\(x = 4\) のとき \(y = -12\)
\(-12 \leqq y \leqq 6\)
(19) \(y = \dfrac{1}{2}x\) で、\(y\) の変域が \(-3 \leqq y \leqq 5\) のとき、\(x\) の変域を求めよ。
解答
\(x = 2y\) なので、\(y = -3\) のとき \(x = -6\)、\(y = 5\) のとき \(x = 10\)
\(-6 \leqq x \leqq 10\)
(20) \(y = \dfrac{12}{x}\) で、\(x\) の変域が \(3 \leqq x \leqq 6\) のとき、\(y\) の変域を求めよ。
解答
\(x = 3\) のとき \(y = 4\)、\(x = 6\) のとき \(y = 2\)
\(2 \leqq y \leqq 4\)
(21) \(y = -\dfrac{18}{x}\) で、\(x\) の変域が \(2 \leqq x \leqq 9\) のとき、\(y\) の変域を求めよ。
解答
\(x = 2\) のとき \(y = -9\)、\(x = 9\) のとき \(y = -2\)
\(-9 \leqq y \leqq -2\)
比例・反比例の利用¶
確認する解説ページ：比例・反比例の式の決定
(22) 同じ種類の針金 \(5\) m の重さは \(120\) g である。この針金 \(x\) m の重さを \(y\) g とする。
(a) \(y\) を \(x\) の式で表せ。
(b) 重さが \(300\) g のとき、針金の長さは何 m か。
解答
(a) 1 m あたり \(120 \div 5 = 24\) g。\(y = 24x\)
(b) \(300 = 24x\) より \(x = 12.5\)（m）
(23) 歯の数が \(24\) の歯車 A が毎分 \(15\) 回転している。A とかみ合う歯車 B の歯の数を \(x\)、B の毎分の回転数を \(y\) とする。
(a) \(y\) を \(x\) の式で表せ。
(b) B の歯の数が \(40\) のとき、B は毎分何回転するか。
解答
(a) かみ合う歯の数は1分間で等しいので \(xy = 24 \times 15 = 360\)。\(y = \dfrac{360}{x}\)
(b) \(y = \dfrac{360}{40} = 9\)（回転）
(24) \(60\) L 入る水そうに、毎分 \(x\) L ずつ水を入れると、\(y\) 分で満水になる。
(a) \(y\) を \(x\) の式で表せ。
(b) \(12\) 分で満水にするには、毎分何 L ずつ入れればよいか。
解答
(a) \(xy = 60\) より \(y = \dfrac{60}{x}\)
(b) \(12 = \dfrac{60}{x}\) より \(x = 5\)（L）
(25) 1目もりを 1 cm とする座標平面上に、3点 \(\text{A}(-3,\ 4)\)、\(\text{B}(-3,\ -2)\)、\(\text{C}(5,\ -2)\) がある。三角形 ABC の面積を求めよ。
解答
AB は \(y\) 軸に平行で長さ \(4 - (-2) = 6\)、BC は \(x\) 軸に平行で長さ \(5 - (-3) = 8\)。角 B が直角。
面積 \(= \dfrac{1}{2} \times 8 \times 6 = 24\)（cm²）
(26) 比例 \(y = -2x\) のグラフと反比例 \(y = \dfrac{a}{x}\) のグラフが、\(x\) 座標が \(-3\) の点で交わっている。\(a\) の値を求めよ。
解答
交点は \(y = -2x\) 上にあるので \(y = 6\)。交点は \((-3,\ 6)\)
\(a = (-3) \times 6 = -18\)
発展¶
(27) \(y = ax\) で、\(x\) の変域が \(-1 \leqq x \leqq 3\) のとき、\(y\) の変域は \(-9 \leqq y \leqq 3\) である。\(a\) の値を求めよ。
解答
\(a > 0\) とすると、\(y\) の変域は \(-a \leqq y \leqq 3a\)。\(-a = -9\) なら \(a = 9\) だが、\(3a = 27\) となり合わない。
\(a < 0\) とすると、\(y\) の変域は \(3a \leqq y \leqq -a\)。\(3a = -9\) より \(a = -3\)、このとき \(-a = 3\) で合う。
\(a = -3\)
(28) 比例 \(y = ax\) のグラフが2点 \(\text{A}(-4,\ 6)\)、\(\text{B}(b,\ -9)\) を通る。\(a\)、\(b\) の値を求めよ。
解答
\(6 = -4a\) より \(a = -\dfrac{3}{2}\)
\(-9 = -\dfrac{3}{2}b\) より \(b = 6\)
(29) 反比例 \(y = \dfrac{a}{x}\) のグラフが点 \(\text{P}(2,\ 9)\) を通る。このグラフ上の点で、\(x\) 座標・\(y\) 座標がともに整数である点は何個あるか。
解答
\(a = 18\)。\(x\) は \(18\) の約数（負の数もふくむ）。
正の約数は \(1,\ 2,\ 3,\ 6,\ 9,\ 18\) の \(6\) 個。負の数も同じだけあるので \(12\) 個
(30) 反比例 \(y = \dfrac{a}{x}\) で、\(x\) の変域が \(2 \leqq x \leqq 6\) のとき、\(y\) の変域は \(b \leqq y \leqq 9\) である。\(a\)、\(b\) の値を求めよ。
解答
\(y\) が正の値をとるので \(a > 0\)。このとき \(x > 0\) では \(x\) が増えると \(y\) は減る。
\(x = 2\) で \(y = 9\) なので \(a = 18\)。\(x = 6\) のとき \(y = 3\) なので \(b = 3\)
(31) 点 A は \(y = \dfrac{6}{x}\) のグラフ上にあり、\(x\) 座標は \(3\) である。点 B\((3,\ 0)\)、原点 O として、三角形 OAB の面積を求めよ（1目もり 1 cm）。また、A の \(x\) 座標を \(1\)、\(2\)、\(6\) に変えても、面積が変わらないことを確かめよ。
解答
A\((3,\ 2)\) なので、面積 \(= \dfrac{1}{2} \times 3 \times 2 = 3\)（cm²）
\(x\) 座標を \(t\) とすると、A の \(y\) 座標は \(\dfrac{6}{t}\)。面積 \(= \dfrac{1}{2} \times t \times \dfrac{6}{t} = 3\) で、いつも \(3\) cm² になる。
（\(t = 1\)：\(\dfrac{1}{2} \times 1 \times 6 = 3\)、\(t = 2\)：\(\dfrac{1}{2} \times 2 \times 3 = 3\)、\(t = 6\)：\(\dfrac{1}{2} \times 6 \times 1 = 3\)）
(32) 家から図書館までの道のりは \(1800\) m である。分速 \(x\) m で歩くと \(y\) 分かかる。
(a) \(y\) を \(x\) の式で表せ。
(b) 分速 \(60\) m で歩くと何分かかるか。
(c) 速さを (b) の \(1.5\) 倍にすると、かかる時間は何倍になるか。
解答
(a) \(y = \dfrac{1800}{x}\)
(b) \(y = 30\)（分）
(c) 分速 \(90\) m のとき \(y = 20\) 分。\(20 \div 30 = \dfrac{2}{3}\)（倍）
反比例では、\(x\) が \(1.5\) 倍になると \(y\) は \(\dfrac{1}{1.5} = \dfrac{2}{3}\) 倍になる。
(33) 縦 \(6\) cm、横 \(10\) cm の長方形 ABCD がある。点 P は B を出発して辺 BC 上を C まで動く。BP \(= x\) cm のときの三角形 ABP の面積を \(y\) cm² とする。
(a) \(y\) を \(x\) の式で表せ。
(b) \(x\) の変域と \(y\) の変域を求めよ。
解答
(a) 底辺 BP、高さ AB \(= 6\) なので \(y = \dfrac{1}{2} \times x \times 6 = 3x\)
(b) \(0 \leqq x \leqq 10\)、\(0 \leqq y \leqq 30\)