コンテンツにスキップ

比例・反比例の式の決定

比例とは何か

身近な例で考える

1本 \(80\) 円のジュースを \(x\) 本買う。合計金額 \(y\) 円はどうなるか。

\(x\)（本） 1 2 3 4 5
\(y\)（円） 80 160 240 320 400

\(x\) が 2倍になると \(y\) も 2倍、\(x\) が 3倍になると \(y\) も 3倍…

比例の定義

\(x\) が \(n\) 倍になると \(y\) も \(n\) 倍になる関係を「\(y\) は \(x\) に比例する」という。

このとき必ず次の式で表せる：

\[ y = ax \quad \text{（$a$ は 0 でない定数、比例定数という）} \]

比例の確認方法： \(\dfrac{y}{x}\) が常に一定（\(= a\)）かどうかを調べる。

\[ \frac{y}{x} = a \text{（一定）} \iff y \text{ は } x \text{ に比例} \]

反比例とは何か

身近な例で考える

面積が \(24\) cm² の長方形で、縦の長さ \(x\) cm と横の長さ \(y\) cm の関係。

\(x\)（cm） 1 2 3 4 6 8 12 24
\(y\)（cm） 24 12 8 6 4 3 2 1

\(x\) が 2倍になると \(y\) は \(\dfrac{1}{2}\) 倍に、\(x\) が 3倍になると \(y\) は \(\dfrac{1}{3}\) 倍に…

反比例の定義

\(x\) が \(n\) 倍になると \(y\) が \(\dfrac{1}{n}\) 倍になる関係を「\(y\) は \(x\) に反比例する」という。

このとき必ず次の式で表せる：

\[ y = \frac{a}{x} \quad \text{（$a$ は 0 でない定数、比例定数という）} \]

反比例の確認方法： \(x \times y\) が常に一定（\(= a\)）かどうかを調べる。

\[ x \times y = a \text{（一定）} \iff y \text{ は } x \text{ に反比例} \]

比例か・反比例か・どちらでもないかの判断

判断の手順

  1. \(\dfrac{y}{x}\) が一定 → 比例（\(y = ax\) の形）
  2. \(x \times y\) が一定 → 反比例（\(y = \dfrac{a}{x}\) の形）
  3. どちらも一定でない → 比例でも反比例でもない

比例の式の決定

基本手順

「\(y\) は \(x\) に比例する」とわかったとき、\(y = ax\) とおいて、与えられた点（\(x\) と \(y\) の値の組）を代入し、\(a\) を求める。

\[ y = ax \quad \xrightarrow{\text{1組の値を代入}} \quad a = \frac{y}{x} \]

反比例の式の決定

「\(y\) は \(x\) に反比例する」とわかったとき、\(y = \dfrac{a}{x}\) とおいて代入する。

\[ y = \frac{a}{x} \quad \xrightarrow{\text{1組の値を代入}} \quad a = x \times y \]

グラフの特徴

比例のグラフ

\(y = ax\) のグラフは原点を通る直線。

比例のグラフのポイント

  • 必ず原点（\(0, 0\)）を通る
  • \(a > 0\) → 右上がりの直線
  • \(a < 0\) → 右下がりの直線
  • \(a\) の絶対値が大きいほど傾きが急

反比例のグラフ

\(y = \dfrac{a}{x}\) のグラフは双曲線（2本の曲線）。

反比例のグラフのポイント

  • 原点を通らない（\(x=0\) で定義されない）
  • 2本の曲線（双曲線）になる
  • \(a > 0\) → 第1・第3象限
  • \(a < 0\) → 第2・第4象限
  • \(x\) 軸・\(y\) 軸に近づくが交わらない

例題

例題１　比例か反比例かを判断する

次の表を見て、\(y\) が \(x\) に比例するか、反比例するか、どちらでもないかを答えよ。また比例・反比例であれば式を求めよ。

(1)

\(x\) 1 2 3 4
\(y\) 5 10 15 20

(2)

\(x\) 1 2 3 6
\(y\) 12 6 4 2

(3)

\(x\) 1 2 3 4
\(y\) 2 5 10 17
解答

(1) \(\dfrac{y}{x} = \dfrac{5}{1} = \dfrac{10}{2} = \dfrac{15}{3} = 5\)（一定）

→ 比例。\(y = 5x\)

(2) \(x \times y = 1\times12 = 2\times6 = 3\times4 = 6\times2 = 12\)（一定）

→ 反比例。\(y = \dfrac{12}{x}\)

(3) \(\dfrac{y}{x} = 2,\ \dfrac{5}{2},\ \dfrac{10}{3},\ \dfrac{17}{4}\)（変化）、\(xy = 2,10,30,68\)（変化）

→ どちらでもない

例題２　比例の式を求める（基本）

\(y\) は \(x\) に比例し、\(x = 5\) のとき \(y = -20\) である。\(y\) を \(x\) の式で表せ。また \(x = 3\) のときの \(y\) の値を求めよ。

解答

\(y = ax\) とおく。\(x = 5,\ y = -20\) を代入：

\[-20 = a \times 5 \implies a = -4\]

よって \(y = -4x\)

\(x = 3\) のとき：\(y = -4 \times 3 = -12\)

例題３　反比例の式を求める（基本）

\(y\) は \(x\) に反比例し、\(x = -3\) のとき \(y = 8\) である。\(y\) を \(x\) の式で表せ。また \(x = 6\) のときの \(y\) の値を求めよ。

解答

\(y = \dfrac{a}{x}\) とおく。\(x = -3,\ y = 8\) を代入：

\[8 = \frac{a}{-3} \implies a = 8 \times (-3) = -24\]

よって \(y = \dfrac{-24}{x}\)

\(x = 6\) のとき：\(y = \dfrac{-24}{6} = -4\)

例題４　グラフから式を決定する

下のグラフ上の点 \(P\) の座標が \((-2,\ 6)\) であるとき、比例・反比例の式を求めよ。

(1) \(y\) は \(x\) に比例する

(2) \(y\) は \(x\) に反比例する

解答

(1) \(y = ax\) に \(x = -2,\ y = 6\) を代入：

\[6 = a \times (-2) \implies a = -3\]

\(y = -3x\)

(2) \(y = \dfrac{a}{x}\) に \(x = -2,\ y = 6\) を代入：

\[6 = \frac{a}{-2} \implies a = -12\]

\(y = \dfrac{-12}{x}\)

例題５　条件が2段階の問題

\(y\) は \(x\) に比例し、\(x = 2\) のとき \(y = -6\) である。\(y = 9\) のときの \(x\) の値を求めよ。

解答

\(y = ax\) に \(x=2,\ y=-6\) を代入：

\[-6 = 2a \implies a = -3\]

\(y = -3x\) に \(y = 9\) を代入：

\[9 = -3x \implies x = -3\]

例題６　実生活への応用（比例）

ガソリン \(1\) L で \(15\) km 走る車がある。

(1) 走れる距離 \(y\) km は、ガソリンの量 \(x\) L に比例することを確認し、式を求めよ。

(2) \(45\) km 走るのに必要なガソリンの量を求めよ。

(3) \(8\) L のガソリンで走れる距離を求めよ。

解答

(1) \(x\) L で \(15x\) km 走れるので \(y = 15x\)。

\(\dfrac{y}{x} = 15\)（一定）なので比例。\(y = 15x\)

(2) \(15x = 45 \implies x = 3\) L

(3) \(y = 15 \times 8 = 120\) km

例題７　実生活への応用（反比例）

面積が \(48\) cm² の三角形の底辺 \(x\) cm と高さ \(y\) cm の関係を考える。

(1) \(y\) は \(x\) に反比例することを確認し、式を求めよ。

(2) 底辺が \(8\) cm のとき、高さを求めよ。

(3) 高さが \(6\) cm のとき、底辺を求めよ。

解答

(1) 三角形の面積 \(= \dfrac{1}{2} \times x \times y = 48\)

\(xy = 96\) （一定）なので反比例。\(y = \dfrac{96}{x}\)

(2) \(y = \dfrac{96}{8} = 12\) cm

(3) \(6 = \dfrac{96}{x} \implies x = 16\) cm

練習問題

(1) 次の各場合について、\(y\) が \(x\) に比例するか、反比例するか、どちらでもないかを答えよ。比例・反比例であれば \(y\) を \(x\) の式で表せ。

(a)

\(x\) 1 2 4 8
\(y\) 24 12 6 3

(b)

\(x\) −2 −1 1 2
\(y\) −8 −4 4 8

(c)

\(x\) 1 2 3 4
\(y\) 3 7 13 21
解答

(a) \(xy = 24\)（一定）→ 反比例。\(y = \dfrac{24}{x}\)

(b) \(\dfrac{y}{x} = 4\)（一定）→ 比例。\(y = 4x\)

(c) \(\dfrac{y}{x} = 3,\ \dfrac{7}{2},\ \dfrac{13}{3},\ \dfrac{21}{4}\)（変化）、\(xy = 3,14,39,84\)（変化）→ どちらでもない

(2) \(y\) は \(x\) に比例し、\(x = -4\) のとき \(y = 6\) である。

(a) \(y\) を \(x\) の式で表せ。

(b) \(x = 8\) のとき \(y\) の値を求めよ。

(c) \(y = -9\) のとき \(x\) の値を求めよ。

解答

\(y = ax\) に \(x=-4,\ y=6\) を代入：\(6 = -4a \implies a = -\dfrac{3}{2}\)

(a) \(y = -\dfrac{3}{2}x\)

(b) \(y = -\dfrac{3}{2} \times 8 = -12\)

(c) \(-9 = -\dfrac{3}{2}x \implies x = 6\)

(3) \(y\) は \(x\) に反比例し、\(x = 6\) のとき \(y = -4\) である。

(a) \(y\) を \(x\) の式で表せ。

(b) \(x = -3\) のとき \(y\) の値を求めよ。

(c) \(y = 8\) のとき \(x\) の値を求めよ。

解答

\(y = \dfrac{a}{x}\) に \(x=6,\ y=-4\) を代入：\(-4 = \dfrac{a}{6} \implies a = -24\)

(a) \(y = \dfrac{-24}{x}\)

(b) \(y = \dfrac{-24}{-3} = 8\)

(c) \(8 = \dfrac{-24}{x} \implies x = -3\)

(4) 次の問いに答えよ。

グラフが点 \((3,\ -6)\) を通る。

(a) \(y\) が \(x\) に比例するとして、式を求めよ。

(b) \(y\) が \(x\) に反比例するとして、式を求めよ。

解答

(a) \(y = ax\) に代入：\(-6 = 3a \implies a = -2\)。　\(y = -2x\)

(b) \(y = \dfrac{a}{x}\) に代入：\(-6 = \dfrac{a}{3} \implies a = -18\)。　\(y = \dfrac{-18}{x}\)

(5) 水が \(1\) 分間に \(3\) L の割合で流れる蛇口がある。\(x\) 分間で \(y\) L の水がたまる。

(a) \(y\) を \(x\) の式で表せ。

(b) \(21\) L たまるのに何分かかるか。

(c) \(10\) 分間でたまる水の量を求めよ。

解答

(a) \(y = 3x\)（比例）

(b) \(3x = 21 \implies x = 7\) 分

(c) \(y = 3 \times 10 = 30\) L

(6) \(60\) km の道のりをある速さで移動する。速さを \(x\) km/h、かかる時間を \(y\) 時間とする。

(a) \(y\) を \(x\) の式で表せ。

(b) 時速 \(40\) km で走ると何時間かかるか。

(c) \(1.5\) 時間で着くには時速何 km で走ればよいか。

解答

\(xy = 60\) なので反比例。

(a) \(y = \dfrac{60}{x}\)

(b) \(y = \dfrac{60}{40} = 1.5\) 時間

(c) \(1.5 = \dfrac{60}{x} \implies x = 40\) km/h

(7)（発展） \(y\) は \(x\) に比例し、\(x = a\) のとき \(y = b\) である。また \(y\) は \(x\) に反比例し、\(x = 2\) のとき \(y = -3\) でもある（別の \(y\) と \(x\) の関係）。\(ab\) の値を求めよ。

解答

反比例の式： \(y = \dfrac{k}{x}\) に \(x=2,\ y=-3\) を代入：

\[k = 2 \times (-3) = -6 \quad \therefore y = \frac{-6}{x}\]

比例の式： \(y = mx\) に \(x=a,\ y=b\) を代入：

\(b = ma\)（\(m\) は不定）

この問題では2つの式が同じ関係を表すと考え、同じ点 \((a, b)\) が両方の式上にある：

\[b = ma \quad \text{かつ} \quad b = \frac{-6}{a}\]

よって \(ma = \dfrac{-6}{a}\) より \(ma^2 = -6\)。

また \(ab = a \cdot \dfrac{-6}{a} = \mathbf{-6}\)

まとめ

比例・反比例の式の決定まとめ

比例 反比例
定義 \(x\) が \(n\) 倍 → \(y\) も \(n\) 倍 \(x\) が \(n\) 倍 → \(y\) は \(\frac{1}{n}\) 倍
式 \(y = ax\) \(y = \dfrac{a}{x}\)
確認 \(\dfrac{y}{x}\) が一定 \(x \times y\) が一定
グラフ 原点を通る直線 原点を通らない双曲線
式の決定 \(y = ax\) に \(1\) 組の値を代入して \(a\) を求める \(y = \dfrac{a}{x}\) に \(1\) 組の値を代入して \(a\) を求める

よくある間違い

  • \(a\) の符号のミス：\(x=-3,\ y=6\) のとき \(a = -3 \times 6 = -18\)（反比例）を \(+18\) にしてしまう
  • 比例と反比例の確認を逆にする：\(\dfrac{y}{x}\) は比例、\(xy\) は反比例で確認
  • \(x=0\) を代入しようとする：反比例 \(y = \dfrac{a}{x}\) は \(x = 0\) で定義されない
  • グラフが通る点を 1 点だけ確認して終わりにする：式が決まったら別の点でも確認する