座標・比例のグラフ¶

座標とは何か¶

平面上の点の位置を表す¶

地図では「東に3ブロック、北に2ブロック」のように位置を表す。数学では2つの数の組で平面上の点の位置を表す。

座標の表し方

平面上の点 $\text{P}$ の位置は $\text{P}(x, y)$ と表す。

$x$ 座標（横）：$x$ 軸方向の位置。右が正、左が負。
$y$ 座標（縦）：$y$ 軸方向の位置。上が正、下が負。
原点：$x$ 軸と $y$ 軸の交点 $\text{O}(0, 0)$

数直線から平面座標へ¶

x軸・y軸とは¶

4つの象限

$x$ 軸と $y$ 軸により平面は4つの領域（象限）に分かれる。

象限	$x$ の符号	$y$ の符号	例
第１象限	$+$	$+$	$(3, 2)$
第２象限	$-$	$+$	$(-2, 3)$
第３象限	$-$	$-$	$(-3, -2)$
第４象限	$+$	$-$	$(2, -3)$

軸上の点（$x=0$ や $y=0$）はどの象限にも属さない。

点を座標平面上に打つ方法¶

手順を覚えよう¶

点 $\text{P}(4, -3)$ を打つ手順：

点を打つ3ステップ

ステップ① $x$ 座標の値の位置から、$x$ 軸に垂直な点線を引く

ステップ② $y$ 座標の値の位置から、$y$ 軸に垂直な点線を引く

ステップ③ 2本の点線の交点に点を打つ

よくある間違い

$(x, y)$ の順番を逆に読んでしまう（$x$ が横、$y$ が縦）
負の座標のとき、逆方向に打ってしまう

比例のグラフを書く手順¶

$y = 2x$ のグラフを書いてみよう¶

比例 $y = ax$ のグラフは原点を通る直線になる。直線は「2点を決めれば引ける」。

STEP 1：表を作る¶

$y = 2x$ に $x$ の値を代入して $y$ を求める。

$x$	$\cdots$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$\cdots$
$y$	$\cdots$	$-4$	$-2$	$0$	$2$	$4$	$\cdots$

STEP 2：点を座標平面上に打つ¶

表から得た点 $(-2,-4),\ (-1,-2),\ (0,0),\ (1,2),\ (2,4)$ を打つ。

STEP 3：点を直線で結ぶ¶

打った点を通るようにまっすぐな直線を引く（端まで伸ばす）。

直線を引くコツ

比例のグラフは原点（0, 0）を必ず通る。

原点ともう1点（例えば $(1, a)$）の2点を決めれば直線が引ける。

$y = 2x$ → 原点と $(1, 2)$ を結ぶ
$y = -3x$ → 原点と $(1, -3)$ を結ぶ

比例定数 $a$ とグラフの形¶

$a$ の値による違い¶

比例定数 $a$ の大小と傾き

$a > 0$（正）→ 右上がりの直線
$a < 0$（負）→ 右下がりの直線
$a$ の絶対値が大きいほど傾きが急になる
$a$ の絶対値が小さいほど（$0$ に近いほど）傾きがなだらか

どんな $a$ でも必ず原点 $\text{O}(0, 0)$ を通る。

比例のグラフの書き方まとめ¶

実際に $y = -\dfrac{3}{2}x$ のグラフを書く¶

分数の比例定数でも手順は同じ。整数の座標になる点を選ぶのがコツ。

STEP 1：$x = 2$ のとき $y = -\dfrac{3}{2} \times 2 = -3$　→　点 $(2, -3)$

STEP 2：原点 $(0, 0)$ と点 $(2, -3)$ を座標平面上に打つ

STEP 3：2点を通る直線を引く（両端まで伸ばす）

分数の比例定数のとき

$y = \dfrac{p}{q}x$ の形のとき、$x = q$（分母）を代入すると $y = p$（分子）になり、整数の座標が得られる。

例：$y = -\dfrac{3}{2}x$ → $x = 2$ を代入 → $y = -3$　→　点 $(2, -3)$

グラフから式を読み取る¶

グラフが与えられた場合は、グラフが通る点を読み取って式を求める。

手順¶

① グラフ上の点の座標 $(x, y)$ を読み取る（原点以外の整数座標）

② $y = ax$ に代入して $a$ を求める

③ 式を完成させる

変域とグラフ¶

変域とは¶

$x$ のとりうる値の範囲を変域という。変域があるとき、グラフは直線の一部（線分）になる。

\[ -2 \leq x \leq 3 \quad \text{（$x$ は} -2 \text{以上} 3 \text{以下）} \]

変域の記号

$a \leq x \leq b$：$x$ は $a$ 以上 $b$ 以下（端点を含む）→ 端点に●
$a < x < b$：$x$ は $a$ より大きく $b$ より小さい（端点を含まない）→ 端点に○

$y = 2x$（$-2 \leq x \leq 3$）のグラフ¶

$x = -2$ のとき $y = 2 \times (-2) = -4$　→　点 $(-2, -4)$

$x = 3$ のとき $y = 2 \times 3 = 6$　→　点 $(3, 6)$

この2点を結んだ線分が答え。

$y$ の変域も求められる

$x$ の変域 $-2 \leq x \leq 3$ のとき、$y = 2x$ の変域：

$x = -2$：$y = -4$（最小値）、$x = 3$：$y = 6$（最大値）

\[-4 \leq y \leq 6\]

例題¶

例題１　点を打つ¶

次の各点を座標平面に打て。

$\text{A}(3, 4),\quad \text{B}(-2, 1),\quad \text{C}(-3, -3),\quad \text{D}(4, -2),\quad \text{E}(0, 3),\quad \text{F}(-4, 0)$

解答

E は $y$ 軸上、F は $x$ 軸上にある（どの象限にも属さない）。

例題２　グラフを書く（正の比例定数）¶

$y = 3x$ のグラフを書け。

解答

STEP 1：表を作る

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$y$	$-6$	$-3$	$0$	$3$	$6$

STEP 2・3：点を打って直線を引く

原点と $(1, 3)$ を結ぶ右上がりの直線。

例題３　グラフを書く（負の比例定数）¶

$y = -\dfrac{1}{2}x$ のグラフを書け。

解答

分数なので $x = 2$ を代入：$y = -\dfrac{1}{2} \times 2 = -1$　→　点 $(2, -1)$

原点 $(0, 0)$ と $(2, -1)$ を結ぶ直線を引く。

右下がりのなだらかな直線。

例題４　グラフから式を求める¶

次のグラフは比例 $y = ax$ のグラフである。$a$ の値と式を求めよ。

グラフが点 $(4, -6)$ を通っている。

解答

$y = ax$ に $x = 4,\ y = -6$ を代入：

\[-6 = a \times 4\]

\[a = -6 \div 4 = -\frac{3}{2}\]

\[\boxed{y = -\frac{3}{2}x}\]

例題５　変域のあるグラフ¶

$y = -2x$（$-1 \leq x \leq 3$）のグラフを書き、$y$ の変域も求めよ。

解答

端点の座標を求める：

$x = -1$ のとき：$y = -2 \times (-1) = 2$　→　点 $(-1, 2)$
$x = 3$ のとき：$y = -2 \times 3 = -6$　→　点 $(3, -6)$

$y$ の変域：$x = -1$ で $y = 2$（最大）、$x = 3$ で $y = -6$（最小）

\[\boxed{-6 \leq y \leq 2}\]

例題６　$y$ の変域から $x$ の変域を求める¶

$y = 3x$ のグラフで、$y$ の変域が $-9 \leq y \leq 6$ のとき、$x$ の変域を求めよ。

解答

$y = 3x$ より $x = \dfrac{y}{3}$

$y = -9$ のとき：$x = \dfrac{-9}{3} = -3$
$y = 6$ のとき：$x = \dfrac{6}{3} = 2$

\[\boxed{-3 \leq x \leq 2}\]

練習問題¶

(1) 次の各点を座標平面上に打ち、それぞれ何象限にあるか答えよ。

$\text{A}(2, 5)$　$\text{B}(-3, 4)$　$\text{C}(-1, -2)$　$\text{D}(5, -1)$　$\text{E}(0, -4)$

解答

A$(2, 5)$：第１象限
B$(-3, 4)$：第２象限
C$(-1, -2)$：第３象限
D$(5, -1)$：第４象限
E$(0, -4)$：$y$ 軸上（どの象限にも属さない）

(2) 次の比例のグラフを書け。

(a) $y = 4x$　　(b) $y = -3x$　　(c) $y = \dfrac{2}{3}x$　　(d) $y = -\dfrac{5}{2}x$

解答

各グラフで使う点（原点ともう1点）：

(a) $y = 4x$：原点と $(1, 4)$　→　右上がり（急）

(b) $y = -3x$：原点と $(1, -3)$　→　右下がり（急）

(c) $y = \dfrac{2}{3}x$：$x = 3$ を代入 → $y = 2$。原点と $(3, 2)$　→　右上がり（なだらか）

(d) $y = -\dfrac{5}{2}x$：$x = 2$ を代入 → $y = -5$。原点と $(2, -5)$　→　右下がり（急）

(3) 比例のグラフが次の点を通るとき、$y$ を $x$ の式で表せ。

(a) $(2, 6)$　　(b) $(-3, 9)$　　(c) $(4, -10)$　　(d) $\left(-2, \dfrac{1}{3}\right)$

解答

(a) $6 = 2a$ → $a = 3$。　$y = 3x$

(b) $9 = -3a$ → $a = -3$。　$y = -3x$

(c) $-10 = 4a$ → $a = -\dfrac{10}{4} = -\dfrac{5}{2}$。　$y = -\dfrac{5}{2}x$

(d) $\dfrac{1}{3} = -2a$ → $a = -\dfrac{1}{6}$。　$y = -\dfrac{1}{6}x$

(4) 次のグラフについて答えよ。

$y = 5x$（$-3 \leq x \leq 2$）

(a) グラフを書け（線分で表すこと）

(b) $y$ の変域を求めよ

解答

(a) 端点の座標：

$x = -3$：$y = 5 \times (-3) = -15$　→　$(-3, -15)$
$x = 2$：$y = 5 \times 2 = 10$　→　$(2, 10)$

この2点を結ぶ線分。

(b) $x = -3$ で $y = -15$（最小）、$x = 2$ で $y = 10$（最大）

\[-15 \leq y \leq 10\]

(5) $y = -4x$ のグラフで、$y$ の変域が $-8 \leq y \leq 12$ のとき、$x$ の変域を求めよ。

解答

$y = -4x$ より $x = -\dfrac{y}{4}$

$y = -8$ のとき：$x = -\dfrac{-8}{4} = 2$
$y = 12$ のとき：$x = -\dfrac{12}{4} = -3$

$a < 0$ なので $x$ と $y$ の大小が逆になることに注意：

\[-3 \leq x \leq 2\]

(6) 次の2直線の交点の座標を求めよ。

$y = 2x$ と $y = -3x$

解答

両方が原点 $(0, 0)$ を通る比例のグラフ。

交点では $2x = -3x$ が成り立つ：

\[2x + 3x = 0 \implies 5x = 0 \implies x = 0\]

$x = 0$ のとき $y = 0$

交点は $(0, 0)$（原点）。

（比例のグラフはすべて原点を通るため、2本の比例グラフの交点は常に原点）

(7)（発展） 比例のグラフ $y = ax$ が、点 $(3, b)$ と点 $(b, 12)$ の両方を通るとき、$a$ と $b$ の値を求めよ。

解答

点 $(3, b)$ が $y = ax$ 上にあるので：$b = 3a$ …①

点 $(b, 12)$ が $y = ax$ 上にあるので：$12 = ab$ …②

①を②に代入：$12 = a \cdot 3a = 3a^2$

\[a^2 = 4 \implies a = \pm 2\]

$a = 2$ のとき：①より $b = 6$。確認：点 $(6, 12)$ → $2 \times 6 = 12$ ✓

$a = -2$ のとき：①より $b = -6$。確認：点 $(-6, 12)$ → $-2 \times (-6) = 12$ ✓

よって $(a, b) = (2, 6)$ または $(a, b) = (-2, -6)$

まとめ¶

座標・比例グラフのまとめ

座標の基本

点 $\text{P}(x, y)$：$x$ が横（右が正）、$y$ が縦（上が正）
原点 $\text{O}(0, 0)$：2軸の交点
4象限：右上(+,+)→第１、左上(-,+)→第２、左下(-,-)→第３、右下(+,-)→第４

比例グラフの書き方（3ステップ）

表を作って点の座標を求める
座標平面に点を打つ
点を通る直線を引く（端まで伸ばす）

グラフの特徴

必ず原点を通る直線
$a > 0$ → 右上がり、$a < 0$ → 右下がり
分数の $a$ → 分母を $x$ に代入すると整数の点が得られる

変域があるとき

端点の $y$ 座標を求め、線分でグラフを書く
$y$ の変域は端点の $y$ 座標の小さい方から大きい方

よくある間違い

$(x, y)$ の順番を逆に読む（$x$ が先で横、$y$ が後で縦）
比例のグラフを原点から書かずに、中途半端な位置に書いてしまう
変域があるとき、直線（矢印付き）で書いてしまう（正しくは線分）
$a < 0$ のとき、$x$ が増えると $y$ の変域の最大・最小が逆になることを忘れる

象限	\(x\) の符号	\(y\) の符号	例
第１象限	\(+\)	\(+\)	\((3, 2)\)
第２象限	\(-\)	\(+\)	\((-2, 3)\)
第３象限	\(-\)	\(-\)	\((-3, -2)\)
第４象限	\(+\)	\(-\)	\((2, -3)\)

座標・比例のグラフ¶

座標とは何か¶

平面上の点の位置を表す¶

数直線から平面座標へ¶

x軸・y軸とは¶

点を座標平面上に打つ方法¶

手順を覚えよう¶

比例のグラフを書く手順¶

\(y = 2x\) のグラフを書いてみよう¶

STEP 1：表を作る¶

STEP 2：点を座標平面上に打つ¶

STEP 3：点を直線で結ぶ¶

比例定数 \(a\) とグラフの形¶

\(a\) の値による違い¶

比例のグラフの書き方まとめ¶

実際に \(y = -\dfrac{3}{2}x\) のグラフを書く¶

グラフから式を読み取る¶

手順¶

変域とグラフ¶

変域とは¶

\(y = 2x\)（\(-2 \leq x \leq 3\)）のグラフ¶

例題¶

例題１　点を打つ¶

例題２　グラフを書く（正の比例定数）¶

例題３　グラフを書く（負の比例定数）¶

例題４　グラフから式を求める¶

例題５　変域のあるグラフ¶

例題６　\(y\) の変域から \(x\) の変域を求める¶

練習問題¶

まとめ¶

座標・比例のグラフ¶

座標とは何か¶

平面上の点の位置を表す¶

数直線から平面座標へ¶

x軸・y軸とは¶

点を座標平面上に打つ方法¶

手順を覚えよう¶

比例のグラフを書く手順¶

\(y = 2x\) のグラフを書いてみよう¶

STEP 1：表を作る¶

STEP 2：点を座標平面上に打つ¶

STEP 3：点を直線で結ぶ¶

比例定数 \(a\) とグラフの形¶

\(a\) の値による違い¶

比例のグラフの書き方まとめ¶

実際に \(y = -\dfrac{3}{2}x\) のグラフを書く¶

グラフから式を読み取る¶

手順¶

変域とグラフ¶

変域とは¶

\(y = 2x\)（\(-2 \leq x \leq 3\)）のグラフ¶

例題¶

例題１ 点を打つ¶

例題２ グラフを書く（正の比例定数）¶

例題３ グラフを書く（負の比例定数）¶

例題４ グラフから式を求める¶

例題５ 変域のあるグラフ¶

例題６ \(y\) の変域から \(x\) の変域を求める¶

練習問題¶

まとめ¶

例題１　点を打つ¶

例題２　グラフを書く（正の比例定数）¶

例題３　グラフを書く（負の比例定数）¶

例題４　グラフから式を求める¶

例題５　変域のあるグラフ¶

例題６　\(y\) の変域から \(x\) の変域を求める¶