反比例のグラフ¶

STEP 1：表を作る

STEP 2・3：点を打ってなめらかな曲線で結ぶ

第１・第３象限に2本の曲線。

STEP 1：表を作る

STEP 2・3：点を打ってなめらかな曲線で結ぶ

\(a < 0\) なので第２・第４象限に2本の曲線。

\(y = \dfrac{a}{x}\) に \(x = 3,\ y = -4\) を代入：

端点の座標：

• \(x = 2\)：\(y = \dfrac{8}{2} = 4\)　→　\((2, 4)\)
• \(x = 8\)：\(y = \dfrac{8}{8} = 1\)　→　\((8, 1)\)

\(y\) の変域：\(x = 2\) で \(y = 4\)（最大）、\(x = 8\) で \(y = 1\)（最小）

端点の座標：

• \(x = -6\)：\(y = \dfrac{-6}{-6} = 1\)　→　\((-6, 1)\)
• \(x = -2\)：\(y = \dfrac{-6}{-2} = 3\)　→　\((-2, 3)\)

\(y\) の変域：\(x = -6\) で \(y = 1\)（最小）、\(x = -2\) で \(y = 3\)（最大）

点 \((3, p)\) が \(y = 2x\) 上にあるので：

点 \((3, 6)\) が \(y = \dfrac{k}{x}\) 上にあるので：

各グラフで使う代表点：

(a) \(y = 9/x\)

第１・第３象限に曲線。

(b) \(y = -6/x\)

第２・第４象限に曲線。

(c) \(y = 1/x\)

第１・第３象限に曲線（\(y = 9/x\) より原点に近い曲線）。

(a) \(5 = \dfrac{a}{4}\) → \(a = 20\)。　\(y = \dfrac{20}{x}\)

(b) \(8 = \dfrac{a}{-3}\) → \(a = -24\)。　\(y = \dfrac{-24}{x}\)

(c) \(-\dfrac{1}{2} = \dfrac{a}{6}\) → \(a = -3\)。　\(y = \dfrac{-3}{x}\)

(a) \(5 = \dfrac{a}{-2}\) → \(a = -10\)

(b) \(y = \dfrac{-10}{10} = -1\)

(c) \(-2 = \dfrac{-10}{x}\) → \(x = 5\)

端点の座標：

• \(x = 3\)：\(y = \dfrac{-12}{3} = -4\)　→　\((3, -4)\)
• \(x = 6\)：\(y = \dfrac{-12}{6} = -2\)　→　\((6, -2)\)

\(y\) の変域：\(x = 3\) で \(y = -4\)（最小）、\(x = 6\) で \(y = -2\)（最大）

\(x = 1,\ y = a > 3\) → \(a > 3\)

\(x = 2,\ y = \dfrac{a}{2} < 10\) → \(a < 20\)

点 A\((2, b)\) が \(y = \dfrac{a}{x}\) 上にあるので：\(b = \dfrac{a}{2}\)　…①

点 B\((c, -3)\) が \(y = \dfrac{a}{x}\) 上にあるので：\(-3 = \dfrac{a}{c}\) → \(a = -3c\)　…②

条件 \(b = -c\) なので①に代入：\(-c = \dfrac{a}{2}\) → \(a = -2c\)　…③

②と③より：\(-3c = -2c\) → \(-c = 0\) → \(c = 0\)

しかし \(c = 0\) は \(x = 0\) に対応するため反比例では定義されない。

ここで再確認：②は \(a = -3c\)、③は \(a = -2c\) なので

\(-3c = -2c\) → \(c = 0\)（矛盾）

→ 条件を見直すと \(b = -c\) と \(a\) が一致するのは：

②より \(c = \dfrac{a}{-3}\)、③より \(c = \dfrac{a}{-2}\) が同時に成り立つ必要があるが、これは矛盾。

別解：\(b = -c\) を使って整理。

①：\(b = \dfrac{a}{2}\)、\(b = -c\) なので \(c = -b = -\dfrac{a}{2}\)

②に代入：\(a = -3c = -3 \times \left(-\dfrac{a}{2}\right) = \dfrac{3a}{2}\)

\(a = \dfrac{3a}{2}\) → \(2a = 3a\) → \(a = 0\)（矛盾：\(a \neq 0\)）

問題の再解釈：\(b = -c\) ではなく \(b \cdot c\) が一定、など条件の再確認が必要。

条件を \(b + c = 0\)（\(b = -c\)）として：

①：\(2b = a\)

②：\(-3c = a\) → \(3b = a\)（\(c = -b\) を代入）

\(2b = 3b\) → \(b = 0\)（矛盾）

この問題は条件の組み合わせによっては解がない場合もある。条件を「A\((2, b)\)、B\((b, -3)\)」（\(c = b\)）として解く：

点 A\((2, b)\)：\(b = \dfrac{a}{2}\) → \(a = 2b\)

点 B\((b, -3)\)：\(-3 = \dfrac{a}{b} = \dfrac{2b}{b} = 2\)（矛盾）

正しい発展問題として再設定： A\((2, b)\)、B\((c, -3)\) が同じ双曲線上にあり、かつ \(b \times c = 6\) のとき \(a\) を求めよ。

反比例なので \(x \times y = a\)（一定）。A より \(2b = a\)。B より \(c \times (-3) = a\) → \(-3c = a\)。

\(b \times c = 6\) と \(a = 2b,\ a = -3c\) より：\(b = \dfrac{a}{2},\ c = \dfrac{a}{-3}\)

\(\dfrac{a}{2} \times \dfrac{a}{-3} = 6\) → \(\dfrac{a^2}{-6} = 6\) → \(a^2 = -36\)（解なし）

発展問題は上記の通り設定によって解の存在が変わる。基本問題をしっかり練習しよう。