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正負の数と指数（累乗）

指数とは？

同じ数を何回もかけるとき、何回かけるかを小さな数字で表すのが指数のアイデア。

\[ 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^4 \]

この式の \(2\) を底（てい）、\(4\) を指数という。そして \(2^4\) のことを「\(2\) の \(4\) 乗」と読む。

累乗の読み方・書き方

\[ \underbrace{a}_{\text{底}} {}^{\displaystyle\overbrace{n}^{\text{指数}}} \]
式 読み方 意味
\(2^1\) 2の1乗 \(2\)
\(2^2\) 2の2乗（2の平方） \(2 \times 2 = 4\)
\(2^3\) 2の3乗（2の立方） \(2 \times 2 \times 2 = 8\)
\(2^4\) 2の4乗 \(2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16\)
\(a^n\) \(a\) の \(n\) 乗 \(a\) を \(n\) 回かけた数

正の数の累乗

正の数を何乗しても、答えは必ず正の数になる。

負の数の累乗（ここが重要！）

負の数を累乗すると、指数（乗数）が偶数か奇数かで符号が変わる。

これが正負の数の累乗でいちばん大切なポイント。

なぜ符号が変わるのか？

「\(- \times -\)」は正になるルールを順番に追っていくと、次のように理解できる。

負の数の累乗の符号ルール

\[ (-a)^n = \begin{cases} +a^n & (n \text{ が偶数のとき}) \\ -a^n & (n \text{ が奇数のとき}) \end{cases} \]

覚え方： 偶数乗 → プラス、奇数乗 → マイナス

カッコありとカッコなし：ここが最大の落とし穴

中学1年生が最もよく間違えるポイントがここ。 カッコがあるかどうかで、意味がまったく違う。

\[ (-3)^2 \quad \neq \quad -3^2 \]

カッコの有無で意味が変わる

式 意味 答え
\((-3)^2\) \(-3\) 全体を2乗 \((-3)\times(-3) = +9\)
\(-3^2\) \(3\) だけを2乗して、後から \(-\) をつける \(-(3\times3) = -9\)
\((-2)^3\) \(-2\) 全体を3乗 \((-2)\times(-2)\times(-2) = -8\)
\(-2^3\) \(2\) だけを3乗して、後から \(-\) をつける \(-(2\times2\times2) = -8\)

※ 3乗の場合は偶然同じになることもあるが、意味は異なる。

累乗を含む計算の順序

四則計算（足す・引く・かける・割る）に累乗が入ったとき、累乗を一番先に計算する。

\[ \text{累乗} \rightarrow \text{かけ算・割り算} \rightarrow \text{足し算・引き算} \]

カッコがあればカッコの中を最初に計算する。

計算の優先順位

  1. カッコの中
  2. 累乗
  3. かけ算・割り算
  4. 足し算・引き算

計算例

\[ 2 + (-3)^2 \times 4 \]

例題

例題１　累乗の基本

次の累乗の値を求めよ。

(1) \(4^3\) 　　(2) \((-5)^2\) 　　(3) \((-2)^4\) 　　(4) \((-1)^7\)

解答

(1) \(4^3 = 4 \times 4 \times 4 = 64\)

(2) \((-5)^2 = (-5) \times (-5) = +25\)（負が2個 → 正）

(3) \((-2)^4 = (-2)\times(-2)\times(-2)\times(-2) = +16\)（負が4個 → 正）

(4) \((-1)^7 = -1\)（負が7個=奇数個 → 負、かつ \(1\) の何乗も絶対値は \(1\)）

例題２　カッコありとカッコなし

次の計算をせよ。

(1) \((-4)^2\) 　　(2) \(-4^2\) 　　(3) \((-3)^3\) 　　(4) \(-3^3\)

解答

(1) \((-4)^2\)：\(-4\) 全体を2乗

\[(-4)^2 = (-4)\times(-4) = +16\]

(2) \(-4^2\)：\(4\) だけ2乗してから \(-\) をつける

\[-4^2 = -(4\times4) = -16\]

(3) \((-3)^3\)：\(-3\) 全体を3乗（負が奇数個 → 負）

\[(-3)^3 = (-3)\times(-3)\times(-3) = -27\]

(4) \(-3^3\)：\(3\) だけ3乗してから \(-\) をつける

\[-3^3 = -(3\times3\times3) = -27\]

確認

(3) と (4) は結果が同じになったが、意味は異なる。奇数乗のときは偶然一致することに注意。

例題３　累乗を含む四則計算

次の計算をせよ。

(1) \((-3)^2 + 5\)

(2) \(4 - (-2)^3\)

(3) \((-2)^2 \times (-3)\)

(4) \(6 \div (-3)^2\)

解答

(1) 累乗を先に

\[(-3)^2 + 5 = 9 + 5 = 14\]

(2) 累乗を先に　\((-2)^3 = -8\)

\[4 - (-8) = 4 + 8 = 12\]

(3) 累乗を先に　\((-2)^2 = 4\)

\[4 \times (-3) = -12\]

(4) 累乗を先に　\((-3)^2 = 9\)

\[6 \div 9 = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}\]

例題４　複数の累乗を含む計算

次の計算をせよ。

(1) \((-2)^3 + (-3)^2\)

(2) \((-1)^{10} - (-1)^{11}\)

(3) \((-2)^2 \times 3 - 4 \div (-2)^2\)

解答

(1) それぞれ累乗を先に計算する

\[(-2)^3 + (-3)^2 = -8 + 9 = 1\]

(2) \((-1)^{10}\)：偶数乗なので \(+1\)、\((-1)^{11}\)：奇数乗なので \(-1\)

\[1 - (-1) = 1 + 1 = 2\]

(3) 累乗 → かけ割り → 足し引き の順

\[(-2)^2 \times 3 - 4 \div (-2)^2 = 4 \times 3 - 4 \div 4 = 12 - 1 = 11\]

例題５　文章題

気温が \(-3\) ℃の日が4日続いたとき、4日間の気温の和を次のように表した。

\[ (-3) \times 4 = -12 \quad \text{（℃）} \]

これとは別に、「\(-3\) ℃」から毎日 \(2\) ℃ずつ下がったとき、\((-3)^2\) が意味を持つか考えてみよう。

問： \((-3)^2\) と \((-3) \times 2\) の値をそれぞれ求め、違いを説明せよ。

解答
\[(-3)^2 = (-3) \times (-3) = +9\]
\[(-3) \times 2 = -6\]

違い：\((-3)^2\) は \(-3\) を2回かけたもの（\(-3 \times -3\)）で結果は正の数。 \((-3) \times 2\) は \(-3\) を2倍した（\(-3 + (-3)\)）もので結果は負の数。

「乗数（何回かける）」と「倍数（何倍するか）」は意味が異なる。

練習問題

(1) 次の累乗を計算せよ。

\[ \text{(a)}\ 3^4 \qquad \text{(b)}\ (-4)^2 \qquad \text{(c)}\ (-2)^5 \qquad \text{(d)}\ (-1)^{100} \]
解答

(a) \(3^4 = 3\times3\times3\times3 = 81\)

(b) \((-4)^2 = 16\)（偶数乗 → 正）

(c) \((-2)^5 = -32\)（奇数乗 → 負、\(2^5=32\)）

(d) \((-1)^{100} = +1\)（\(100\) は偶数 → 正）

(2) 次の値を求めよ。

\[ \text{(a)}\ (-6)^2 \qquad \text{(b)}\ -6^2 \qquad \text{(c)}\ (-5)^2 \qquad \text{(d)}\ -5^2 \]
解答

(a) \((-6)^2 = 36\)

(b) \(-6^2 = -36\)

(c) \((-5)^2 = 25\)

(d) \(-5^2 = -25\)

確認

(a)(b) は符号が違うだけで絶対値は同じ。カッコの有無が符号を決める。

(3) 次の計算をせよ。

\[ \text{(a)}\ (-3)^2 - 5 \qquad \text{(b)}\ 1 - (-2)^4 \qquad \text{(c)}\ (-5)^2 \div (-5) \]
解答

(a) \((-3)^2 - 5 = 9 - 5 = 4\)

(b) \(1 - (-2)^4 = 1 - 16 = -15\)

(c) \((-5)^2 \div (-5) = 25 \div (-5) = -5\)

(4) 次の四則混合計算をせよ。

\[ \text{(a)}\ (-2)^3 \times (-3) + 10 \]
\[ \text{(b)}\ 5 - (-3)^2 \times 2 + (-1)^4 \]
解答

(a) 累乗を先に　\((-2)^3 = -8\)

\[(-8) \times (-3) + 10 = 24 + 10 = 34\]

(b) 累乗を先に　\((-3)^2 = 9\)、\((-1)^4 = 1\)

\[5 - 9 \times 2 + 1 = 5 - 18 + 1 = -12\]

(5) 次の式の \(\square\) に入る数を求めよ。

\[ \text{(a)}\ \square^2 = 49 \qquad \text{(b)}\ (-\square)^3 = -27 \qquad \text{(c)}\ (-2)^{\square} = 16 \]
解答

(a) \(7^2=49\) より \(\square = 7\)（または \((-7)^2=49\) より \(\square = -7\) も可）

(b) \((-3)^3 = -27\) より \(\square = 3\)

(c) \((-2)^4 = 16\) より \(\square = 4\)

(6)（発展） 次の問いに答えよ。

\((-2)^1,\ (-2)^2,\ (-2)^3,\ (-2)^4,\ (-2)^5\) の値をそれぞれ求め、指数が1ずつ増えたとき、値がどのように変化するか説明せよ。

解答
\[ (-2)^1 = -2 \]
\[ (-2)^2 = +4 \]
\[ (-2)^3 = -8 \]
\[ (-2)^4 = +16 \]
\[ (-2)^5 = -32 \]

変化のパターン

  • 符号が \(-,\ +,\ -,\ +,\ -,\ \ldots\) と交互に変わる
  • 絶対値は \(2,\ 4,\ 8,\ 16,\ 32,\ \ldots\) と2倍ずつ増える（\(\times 2\) ずつ）
  • 指数が1増えるたびに \(\times(-2)\) しているので、「符号が逆になりながら2倍」になる

まとめ

正負の数と指数のポイント

内容 ポイント
指数の意味 同じ数を繰り返しかける回数を表す小さな数字
正の数の累乗 何乗しても必ず 正(+)
負の数の偶数乗 結果は正(+)
負の数の奇数乗 結果は負(−)
カッコあり \((-a)^n\) \(-a\) 全体を \(n\) 乗する
カッコなし \(-a^n\) \(a\) だけ \(n\) 乗して、後から \(-\) をつける
計算の順序 カッコ → 累乗 → かけ割り → 足し引き

特に注意！

\[(-3)^2 = +9 \qquad \text{と} \qquad -3^2 = -9 \quad \text{は別物}\]

カッコがあるかどうかを必ず確認しよう。