一次式を利用した規則性の問題¶

規則性の問題とは¶

数や図形が一定のルール（規則）で並んでいるとき、そのルールを文字式で表すと、どんな大きさの場合でも一発で答えを出せるようになる。

規則性の問題を解くステップ

小さい場合を書き出す（1番目、2番目、3番目…）
変化の規則を見つける（何ずつ増えているか）
$n$ 番目の式を立てる
式を使って答えを求める

タイプ①：マッチ棒で作る図形¶

正方形をつなげるパターン¶

マッチ棒で下の図のように正方形をつなげていく。

表にまとめる

番目 $n$	正方形の個数	マッチ棒の本数	前の番目との差
1	1	4	—
2	2	7	$+3$
3	3	10	$+3$
4	4	13	$+3$
$n$	$n$	?	$+3$

規則を見つける

立式のポイント

\[ \text{最初の1個分（4本）} + \text{追加する}(n-1)\text{個分（1個につき3本）} \]

\[ = 4 + 3(n-1) = 4 + 3n - 3 = 3n + 1 \]

$n$ 番目のマッチ棒の本数

\[ 3n + 1 \text{（本）} \]

確認： $n=1$ のとき $3\times1+1=4$ ✅、$n=3$ のとき $3\times3+1=10$ ✅

タイプ②：三角形をつなげるパターン¶

番目 $n$	1	2	3	4	$n$
マッチ棒の本数	3	5	7	9	?
差	—	$+2$	$+2$	$+2$	—

立式：

\[ \text{最初の3本} + \text{追加}(n-1)\text{個分} \times 2\text{本} \]

\[ = 3 + 2(n-1) = 3 + 2n - 2 = 2n + 1 \]

$n$ 番目のマッチ棒の本数

\[ 2n + 1 \text{（本）} \]

タイプ③：点・丸で作る図形¶

正三角形の点の数¶

番目 $n$	1	2	3	4	$n$
点の個数	1	3	6	10	?
差	—	$+2$	$+3$	$+4$	—

差が一定でない（$+2, +3, +4, \ldots$）ので、一次式にはならない。この場合、$n$ 段目の点の数は $\dfrac{n(n+1)}{2}$ 個（2次式）。

差が一定でないときは一次式にならない

差が毎回同じ値のとき → 一次式（等差数列）

差が毎回変化するとき → 一次式にはならない（2次式以上）

規則性の問題では、まず差が一定かどうかを確認することが大切。

タイプ④：正方形の枚数と周の長さ¶

正方形のタイルを下の図のように $1$ 列に並べたとき、全体の周の長さを求める。

タイルの枚数 $n$	1	2	3	4	$n$
周の長さ	4	6	8	10	?
差	—	$+2$	$+2$	$+2$	—

立式の考え方： タイルを1列に並べた全体を、横 $n$、縦 $1$ の長方形と考える。

\[ \text{周の長さ} = 2 \times (n + 1) = 2n + 2 \]

$n$ 枚並べたときの周の長さ

\[ 2n + 2 \text{（cm）}　\text{（1辺が 1 cm のとき）} \]

タイプ⑤：数の並び（等差数列）¶

奇数の列¶

\[ 1,\quad 3,\quad 5,\quad 7,\quad 9,\quad \ldots \]

番目 $n$	1	2	3	4	5	$n$
値	1	3	5	7	9	?

差は $+2$ で一定。$n = 1$ のとき $1$ なので：

\[ 2n - 1 \]

確認： $n=1 \to 1$ ✅、$n=3 \to 5$ ✅、$n=5 \to 9$ ✅

等差数列の一般式を求める手順¶

等差数列の式の立て方

差が $d$（一定）で、1番目の値が $a$ の数の列の $n$ 番目は：

\[ a + (n-1) \times d \]

これを展開して整理すると $n$ の一次式になる。

例） $5, 8, 11, 14, \ldots$（差 $d=3$、最初 $a=5$）

\[5 + (n-1) \times 3 = 5 + 3n - 3 = 3n + 2\]

例題¶

例題１　マッチ棒（正方形）¶

マッチ棒で正方形をつなげていく。$n$ 番目のマッチ棒の本数を求めよ。また、マッチ棒が $40$ 本のとき、何番目か求めよ。

解答

$n$ 番目の式：

\[3n + 1 \text{（本）}\]

（解説ページの内容より）

40本のとき：

\[3n + 1 = 40\]

\[3n = 39\]

\[n = 13\]

13番目のとき40本になる。

例題２　数の列¶

\[ 4,\quad 7,\quad 10,\quad 13,\quad \ldots \]

(1) $n$ 番目の数を $n$ の式で表せ。

(2) $n$ 番目の数が $100$ になるのはいつか。

(3) $50$ 番目の数を求めよ。

解答

(1) 差は $+3$（一定）、1番目は $4$。

\[4 + (n-1) \times 3 = 4 + 3n - 3 = 3n + 1\]

(2)

\[3n + 1 = 100 \implies 3n = 99 \implies n = 33\]

33番目

(3)

\[3 \times 50 + 1 = 151\]

例題３　図形の周の長さ¶

1辺が $2$ cm の正三角形のタイルを、下の図のように1列に並べる。$n$ 枚並べたときの全体の周の長さを求めよ。

解答

表を作る

枚数 $n$	1	2	3	4
周（cm）	6	8	10	12
差	—	+2	+2	+2

差が $+2$（cm）で一定。$n=1$ のとき $6$ cm なので：

\[6 + (n-1) \times 2 = 6 + 2n - 2 = 2n + 4 \text{（cm）}\]

別の考え方： タイル $n$ 枚の全体は横 $n \times 2$ cm、縦 $\sqrt{3}$ cm…ではなく、

向かい合う辺が消えることに注目すると：

全部の辺の数：$3n$ 辺
内側で重なって見えなくなる辺：$n-1$ 辺
外側の辺（周）：$3n - (n-1) = 2n + 1$ 辺
各辺 $2$ cm なので：$(2n+1) \times 2 = 4n + 2$ cm

どちらの考え方も正解

表の差から立式する方法と、図形の構造から立式する方法、どちらも正しい。

例題４　正方形の枚数と本数の逆算¶

マッチ棒を使って正方形をつなげるとき（1個につき3本増える）、マッチ棒が $28$ 本のとき、正方形は何個か。

解答

$n$ 番目の式は $3n + 1$。

\[3n + 1 = 28\]

\[3n = 27\]

\[n = 9\]

正方形は9個。

例題５　2種類の規則が混じる問題¶

下のような数の列がある。

\[ 2,\quad 5,\quad 8,\quad 11,\quad \ldots \]

(1) 100番目の数を求めよ。

(2) この列に $200$ はあるか。あるなら何番目か。

解答

差は $+3$（一定）、1番目は $2$。

\[n\text{番目} = 2 + (n-1) \times 3 = 3n - 1\]

(1) $n = 100$ のとき：$3 \times 100 - 1 = 299$

(2) $3n - 1 = 200$ とすると、$3n = 201$、$n = 67$

$n = 67$ は整数なので、67番目に $200$ がある。

練習問題¶

(1) マッチ棒で正六角形をつなげていく（隣り合う辺を1本共有）。

(a) $n$ 番目のマッチ棒の本数を求めよ。

(b) マッチ棒が $51$ 本のとき、正六角形は何個か。

解答

(a)

個数 $n$	1	2	3	4
本数	6	11	16	21
差	—	+5	+5	+5

差は $+5$（1辺共有なので6−1=5本増える）

\[6 + (n-1) \times 5 = 5n + 1 \text{（本）}\]

(b)

\[5n + 1 = 51 \implies 5n = 50 \implies n = 10\]

10個

(2) 次の数の列の $n$ 番目の数を求めよ。

\[ \text{(a)}\quad 3,\ 7,\ 11,\ 15,\ \ldots \qquad \text{(b)}\quad 10,\ 7,\ 4,\ 1,\ \ldots \]

解答

(a) 差 $+4$、1番目が $3$。

\[3 + (n-1) \times 4 = 4n - 1\]

(b) 差 $-3$（減っていく）、1番目が $10$。

\[10 + (n-1) \times (-3) = 10 - 3n + 3 = -3n + 13\]

(3) 次の数の列について答えよ。

\[ 5,\quad 9,\quad 13,\quad 17,\quad \ldots \]

(a) 20番目の数を求めよ。

(b) 初めて $100$ を超えるのは何番目か。

解答

差 $+4$、1番目が $5$。$n$ 番目 $= 4n + 1$。

(a) $4 \times 20 + 1 = 81$

(b) $4n + 1 > 100 \implies 4n > 99 \implies n > 24.75$

よって $n = 25$ が最初。25番目（$4\times25+1=101$）

(4) 下の図のように、碁石を正方形の形に並べる。$n$ 番目の碁石の数を求めよ。

解答

番目 $n$	1	2	3	4
碁石の数	4	8	12	16
差	—	+4	+4	+4

差が $+4$（一定）、1番目が $4$。

\[4 + (n-1) \times 4 = 4n \text{（個）}\]

別の考え方： 1辺に $n+1$ 個の石を並べた正方形の枠なので：

\[4(n+1) - 4 = 4n \text{（個）} \quad \text{（四隅を引く）}\]

(5)（発展） 次の数の列は、ある2種類の規則が交互に現れる。

\[ 1,\quad 4,\quad 3,\quad 6,\quad 5,\quad 8,\quad 7,\quad 10,\quad \ldots \]

奇数番目と偶数番目を分けて考えて、$100$ 番目の数を求めよ。

解答

奇数番目：$1,\ 3,\ 5,\ 7,\ \ldots$（差 $+2$）

奇数番目だけ取り出すと、$k$ 番目（$k=1,2,3,\ldots$）は $2k-1$。

元の列の $n$ 番目（$n$ 奇数）は $k = \dfrac{n+1}{2}$ 番目なので $n$。

偶数番目：$4,\ 6,\ 8,\ 10,\ \ldots$（差 $+2$）

偶数番目だけ取り出すと、$k$ 番目は $2k+2$。

元の列の $n$ 番目（$n$ 偶数）は $k = \dfrac{n}{2}$ 番目なので $n+2$。

$100$ は偶数なので：$100 + 2 = \mathbf{102}$

まとめ¶

規則性の問題のポイント

手順	やること
① 書き出す	1番目〜4番目くらいまで数値を求める
② 差を確認	差が一定か確認する（一定なら一次式）
③ 式を立てる	$\text{初項} + (n-1) \times \text{差}$ を展開して整理
④ 検証する	$n=1,2,3$ を代入して合っているか確認
⑤ 逆算する	「何番目か」なら式 $= $ 目標値の方程式を解く

よくあるミス

差が一定かどうかを確認しないまま式を立てる（差が変化する場合は一次式にならない）
$n-1$ を忘れて $n$ にしてしまう（追加分は1番目以降なので $(n-1)$ 回）
検証（代入確認）をしない（式を立てたら必ず $n=1,2$ で確認）

番目 \(n\)	正方形の個数	マッチ棒の本数	前の番目との差
1	1	4	—
2	2	7	\(+3\)
3	3	10	\(+3\)
4	4	13	\(+3\)
\(n\)	\(n\)	?	\(+3\)

番目 \(n\)	1	2	3	4	\(n\)
マッチ棒の本数	3	5	7	9	?
差	—	\(+2\)	\(+2\)	\(+2\)	—