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一次式と分配法則

分配法則とは

カッコの外にある数を、カッコの中のすべての項にかける操作を分配法則という。

\[ a(b + c) = ab + ac \]
\[ a(b - c) = ab - ac \]

分配法則の基本

カッコ外の数は、カッコ内のすべての項にかかる。 1つの項だけにかけるのは間違い。

正の数をかけるとき

整数をかける

\[ 2(3x + 5) = 2 \times 3x + 2 \times 5 = 6x + 10 \]
\[ 4(x - 3) = 4 \times x + 4 \times (-3) = 4x - 12 \]

負の数をかけるとき

マイナスをかけると符号が逆になることに注意。

\[ -3(2x + 4) = (-3) \times 2x + (-3) \times 4 = -6x - 12 \]
\[ -2(x - 5) = (-2) \times x + (-2) \times (-5) = -2x + 10 \]

よくある間違い①：符号の変換ミス

\(-2(x - 5)\) の計算で、第2項を \(+(-2)\times(-5)\) と正しく計算できていない例：

計算 結果
間違い \(-2 \times x + (-2) \times 5\) \(-2x - 10\) ❌
正しい \(-2 \times x + (-2) \times (-5)\) \(-2x + 10\) ✅

カッコ内が \(-5\) なので、\((-2) \times (-5) = +10\) になる。 カッコ内の符号を見落とさないこと。

分数をかけるとき（ここが最重要）

パターン①：分数 × 一次式

\[ \frac{1}{3}(6x + 9) = \frac{1}{3} \times 6x + \frac{1}{3} \times 9 = 2x + 3 \]
\[ \frac{2}{5}(10x - 15) = \frac{2}{5} \times 10x + \frac{2}{5} \times (-15) = 4x - 6 \]

計算のコツ

分数 \(\times\) 整数は、約分してから計算すると楽。

\(\dfrac{1}{3} \times 6x = \dfrac{6x}{3} = 2x\)

パターン②：分数の形のカッコ（一番のつまずきポイント）

\[ \frac{2x + 4}{3} \]

これは \(\dfrac{1}{3}(2x + 4)\) と同じ意味。 分子全体に \(\dfrac{1}{3}\) をかけた形である。

\[ \frac{2x + 4}{3} = \frac{1}{3}(2x + 4) = \frac{2x}{3} + \frac{4}{3} \]

よくある間違い②：分数の割り算で一部の項だけ割る

\((3x - 6) \div 3\) を計算するとき：

計算 結果
間違い \(3x \div 3 - 6\) \(x - 6\) ❌
正しい \(3x \div 3 - 6 \div 3\) \(x - 2\) ✅

割り算もすべての項に適用する。「\(3x\) だけ割って \(6\) は割らない」は絶対にダメ。

パターン③：整数 × 分数の式

次のような計算でも分配法則を使う。

\[ 6 \times \frac{x + 2}{3} = \frac{6(x + 2)}{3} = 2(x + 2) = 2x + 4 \]

整数と分数の組み合わせのコツ

整数を分子にのせて、先に約分してからカッコを展開すると計算しやすい。

\[ 6 \times \frac{x+2}{3} \xrightarrow{\text{約分}} 2(x+2) \xrightarrow{\text{展開}} 2x+4 \]

パターン④：引き算のカッコ + 分数（最難関）

\[ \frac{2x - 4}{3} \times (-3) \]

2つのカッコの加減：カッコを外してまとめる

複数のカッコがある式では、それぞれ分配法則でカッコを外してから同類項をまとめる。

\[ 3(2x + 1) + 2(x - 4) \]
\[ = 6x + 3 + 2x - 8 = 8x - 5 \]
\[ 4(x + 3) - 2(3x - 1) \]
\[ = 4x + 12 - 6x + 2 = -2x + 14 \]

よくある間違い③：引くカッコの分配法則

\(4(x+3) - 2(3x-1)\) の第2項：

\(-2(3x-1)\) の展開
間違い \(-6x - 1\) ❌ \(-1\) の部分を \(-2\) でかけ忘れ
間違い \(-6x + 1\) ❌ \(-2 \times (-1) = +2\) なのに \(+1\) に
正しい \(-6x + 2\) ✅ \((-2)\times(-1) = +2\)

引き算のカッコは、中のすべての項の符号が逆になると意識しよう。

分数の係数を含む 2つのカッコの加減

\[ \frac{1}{2}(4x + 6) - \frac{1}{3}(3x - 9) \]
\[ = 2x + 3 - x + 3 = x + 6 \]

よくある間違い④：分数のかけ算でマイナスを見落とす

\(-\dfrac{1}{3}(3x-9)\) の計算：

展開 結果
間違い \(\dfrac{1}{3}(3x-9)\) と符号を落とす \(x - 3\) ❌
間違い \(-\dfrac{1}{3} \times 3x - \dfrac{1}{3} \times 9\) \(-x - 3\) ❌（第2項の符号ミス）
正しい \(-\dfrac{1}{3} \times 3x + \left(-\dfrac{1}{3}\right) \times (-9)\) \(-x + 3\) ✅

分数の前のマイナス符号は分数全体についていることを忘れずに。

通分を使った加減（分母が違う分数式）

\[ \frac{3x + 1}{2} - \frac{x - 2}{3} \]

手順： 1. 分母の最小公倍数（ここでは \(6\)）を見つける 2. 各分数の分子・分母に同じ数をかけて通分する 3. 分子を展開してまとめる

\[ = \frac{3(3x+1)}{6} - \frac{2(x-2)}{6} = \frac{9x + 3 - 2x + 4}{6} = \frac{7x + 7}{6} \]

よくある間違い⑤：通分後の分子展開でカッコを忘れる

通分で \(-\dfrac{x-2}{3}\) を \(-\dfrac{2(x-2)}{6}\) とした後、分子を展開する場面：

分子の計算 結果
間違い \(9x+3 - 2x-4\) \(7x - 1\) ❌（\(-(x-2)\) を \(-x-2\) とミス）
正しい \(9x+3 - (2x-4) = 9x+3-2x+4\) \(7x+7\) ✅

\(-\dfrac{2(x-2)}{6}\) の分子は \(-2(x-2) = -2x+4\)。 マイナスがついているので展開後に符号が変わる。

例題

例題１　基本の分配法則

次の計算をせよ。

\[ \text{(1)}\quad 4(3x - 2) \qquad \text{(2)}\quad -5(2x + 3) \qquad \text{(3)}\quad -3(-4x - 1) \]
解答

(1) \(4 \times 3x + 4 \times (-2) = 12x - 8\)

(2) \((-5) \times 2x + (-5) \times 3 = -10x - 15\)

(3) \((-3) \times (-4x) + (-3) \times (-1) = 12x + 3\)

(3) のポイント

\(-\) どうしのかけ算は \(+\) になる。\((-3)\times(-4x)=+12x\)、\((-3)\times(-1)=+3\)。

例題２　分数をかける分配法則

次の計算をせよ。

\[ \text{(1)}\quad \frac{1}{2}(6x - 4) \qquad \text{(2)}\quad -\frac{2}{3}(9x + 6) \qquad \text{(3)}\quad \frac{3}{4}(8x - 12) \]
解答

(1) 各項に \(\dfrac{1}{2}\) をかける（約分できる）。

\[\frac{1}{2} \times 6x + \frac{1}{2} \times (-4) = 3x - 2\]

(2) 各項に \(-\dfrac{2}{3}\) をかける。

\[-\frac{2}{3} \times 9x + \left(-\frac{2}{3}\right) \times 6 = -6x - 4\]

(3) 各項に \(\dfrac{3}{4}\) をかける。

\[\frac{3}{4} \times 8x + \frac{3}{4} \times (-12) = 6x - 9\]

例題３　分数の式を割る

次の計算をせよ。

\[ \text{(1)}\quad (8x + 4) \div 4 \qquad \text{(2)}\quad (6x - 9) \div 3 \qquad \text{(3)}\quad (4x + 6) \div (-2) \]
解答

(1) すべての項を \(4\) で割る。

\[\frac{8x}{4} + \frac{4}{4} = 2x + 1\]

(2) すべての項を \(3\) で割る。

\[\frac{6x}{3} - \frac{9}{3} = 2x - 3\]

(3) すべての項を \((-2)\) で割る（符号が逆になる）。

\[\frac{4x}{-2} + \frac{6}{-2} = -2x - 3\]

例題４　整数 × 分数の式

次の計算をせよ。

\[ \text{(1)}\quad 6 \times \frac{x+3}{2} \qquad \text{(2)}\quad 4 \times \frac{2x-1}{8} \qquad \text{(3)}\quad 9 \times \frac{x-2}{3} \]
解答

(1) 整数を分子にのせて約分してからカッコを展開。

\[\frac{6(x+3)}{2} = 3(x+3) = 3x + 9\]

(2) \(\dfrac{4(2x-1)}{8} = \dfrac{2x-1}{2} = x - \dfrac{1}{2}\)

(3) \(\dfrac{9(x-2)}{3} = 3(x-2) = 3x - 6\)

例題５　2つのカッコの加減

次の計算をせよ。

\[ \text{(1)}\quad 2(3x+1) + 4(x-3) \qquad \text{(2)}\quad 5(2x-3) - 3(x+4) \]
解答

(1) それぞれ展開してからまとめる。

\[6x + 2 + 4x - 12 = 10x - 10\]

(2) 第2項の展開に注意（\(-3\) をかける）。

\[10x - 15 - 3x - 12 = 7x - 27\]

(2) の注意

\(-3(x+4) = -3x - 12\)。\(-3 \times 4 = -12\)（負）であることを確認。

例題６　分数を含む 2 つのカッコの加減

次の計算をせよ。

\[ \frac{1}{3}(6x + 9) - \frac{1}{2}(4x - 8) \]
解答

それぞれ展開する。

\[ \frac{1}{3}(6x+9) = 2x + 3 \]
\[ \frac{1}{2}(4x-8) = 2x - 4 \]

引き算するので：

\[ (2x+3) - (2x-4) = 2x + 3 - 2x + 4 = 7 \]

一次の項が消えた

\(x\) の項が消えて定数だけが残ることがある。これは正しい結果。

例題７　通分が必要な加減

次の計算をせよ。

\[ \frac{2x+1}{3} - \frac{x-3}{4} \]
解答

分母の最小公倍数は \(12\)。

\[ \frac{4(2x+1)}{12} - \frac{3(x-3)}{12} \]
\[ = \frac{8x + 4 - 3x + 9}{12} = \frac{5x + 13}{12} \]

分子の引き算に注意

\(- 3(x-3) = -3x + 9\)。引き算のカッコなので中の符号が逆になる。 \(-3 \times (-3) = +9\) を落とさないこと。

間違い探し問題

次の計算は間違っている。どこが間違いかを指摘し、正しく計算せよ。

間違い探し①

\[ -2(3x - 4) = -6x - 8 \]
解答・解説

間違い箇所： 第2項の計算

\((-2) \times (-4) = +8\) であるのに、\(-8\) としている。

正しい計算：

\[-2(3x-4) = (-2) \times 3x + (-2) \times (-4) = -6x + 8\]

間違い探し②

\[ (5x - 10) \div 5 = 5x - 2 \]
解答・解説

間違い箇所： 第1項だけを割っていない（実は第1項の計算もミスしている）

\(5x \div 5 = x\)、\(10 \div 5 = 2\) なのに、\(5x \div 5 = 5x\) としている。

実際は第1項 \(5x\) を \(5\) で割ると \(x\)、第2項 \(10\) を \(5\) で割ると \(2\) なので：

正しい計算：

\[\frac{5x-10}{5} = x - 2\]

間違い探し③

\[ \frac{1}{4}(8x - 12) = 2x - 12 \]
解答・解説

間違い箇所： 第2項 \(-12\) に \(\dfrac{1}{4}\) をかけていない。

\(-12\) は分配法則により \(\dfrac{1}{4} \times (-12) = -3\) になる。

正しい計算：

\[\frac{1}{4}(8x-12) = \frac{1}{4} \times 8x + \frac{1}{4} \times (-12) = 2x - 3\]

間違い探し④

\[ 3(x + 2) - 2(x - 1) = 3x + 6 - 2x - 2 = x + 4 \]
解答・解説

間違い箇所： \(-2(x-1)\) の展開ミス。

\((-2) \times (-1) = +2\) であるのに \(-2\) としている。

正しい計算：

\[3(x+2) - 2(x-1) = 3x + 6 - 2x + 2 = x + 8\]

間違い探し⑤

\[ \frac{x+3}{2} - \frac{x-1}{3} = \frac{3(x+3) - 2(x-1)}{6} = \frac{3x+9-2x-2}{6} = \frac{x+7}{6} \]
解答・解説

間違い箇所： 分子の \(-2(x-1)\) の展開ミス。

\(-2(x-1) = -2x + 2\) であるのに \(-2x - 2\) としている。

\[3(x+3) - 2(x-1) = 3x + 9 - 2x + 2 = x + 11\]

正しい計算：

\[\frac{x+3}{2} - \frac{x-1}{3} = \frac{x + 11}{6}\]

練習問題

(1) 次の計算をせよ。

\[ \text{(a)}\quad 6(x - 4) \qquad \text{(b)}\quad -3(2x + 5) \qquad \text{(c)}\quad -7(-x + 2) \]
解答

(a) \(6x - 24\)

(b) \(-6x - 15\)

(c) \(7x - 14\)

(2) 次の計算をせよ。

\[ \text{(a)}\quad \frac{1}{5}(10x + 15) \qquad \text{(b)}\quad -\frac{3}{4}(8x - 12) \qquad \text{(c)}\quad \frac{5}{6}(12x + 18) \]
解答

(a) \(2x + 3\)

(b) \(-6x + 9\)

(c) \(10x + 15\)

(3) 次の計算をせよ。

\[ \text{(a)}\quad (12x - 8) \div 4 \qquad \text{(b)}\quad (9x + 6) \div (-3) \qquad \text{(c)}\quad (5x - 10) \div \frac{5}{2} \]
解答

(a) \(3x - 2\)

(b) \(-3x - 2\)

(c) \((5x-10) \times \dfrac{2}{5} = 2x - 4\)

(4) 次の計算をせよ。

\[ \text{(a)}\quad 3(2x+1) - 2(x-4) \qquad \text{(b)}\quad -2(3x-5) + 4(x+1) \]
解答

(a) \(6x + 3 - 2x + 8 = 4x + 11\)

(b) \(-6x + 10 + 4x + 4 = -2x + 14\)

(5) 次の計算をせよ。

\[ \text{(a)}\quad \frac{1}{2}(4x-6) - \frac{1}{3}(6x+9) \]
\[ \text{(b)}\quad \frac{3}{4}(8x+4) - \frac{2}{3}(3x-6) \]
解答

(a)

\[\frac{1}{2}(4x-6) = 2x-3 \qquad \frac{1}{3}(6x+9) = 2x+3\]
\[(2x-3) - (2x+3) = 2x - 3 - 2x - 3 = -6\]

(b)

\[\frac{3}{4}(8x+4) = 6x+3 \qquad \frac{2}{3}(3x-6) = 2x-4\]
\[(6x+3) - (2x-4) = 6x + 3 - 2x + 4 = 4x + 7\]

(6) 次の計算をせよ。

\[ \text{(a)}\quad \frac{3x-2}{4} + \frac{x+1}{2} \qquad \text{(b)}\quad \frac{2x+1}{3} - \frac{x-2}{6} \]
解答

(a) 最小公倍数は \(4\)。

\[\frac{3x-2}{4} + \frac{2(x+1)}{4} = \frac{3x-2+2x+2}{4} = \frac{5x}{4}\]

(b) 最小公倍数は \(6\)。

\[\frac{2(2x+1)}{6} - \frac{x-2}{6} = \frac{4x+2-x+2}{6} = \frac{3x+4}{6}\]

(7)（発展） 次の計算をせよ。

\[ 4\left(\frac{x}{2} - \frac{1}{3}\right) - 3\left(\frac{x}{3} + \frac{1}{4}\right) \]
解答

それぞれ分配法則を使う。

\[4 \times \frac{x}{2} + 4 \times \left(-\frac{1}{3}\right) = 2x - \frac{4}{3}\]
\[3 \times \frac{x}{3} + 3 \times \frac{1}{4} = x + \frac{3}{4}\]

引き算するので：

\[\left(2x - \frac{4}{3}\right) - \left(x + \frac{3}{4}\right) = x - \frac{4}{3} - \frac{3}{4}\]

\(\dfrac{4}{3}\) と \(\dfrac{3}{4}\) を通分（最小公倍数は \(12\)）：

\[x - \frac{16}{12} - \frac{9}{12} = x - \frac{25}{12}\]

まとめ

分配法則のポイント

パターン 計算の仕方
\(a(bx + c)\) \(abx + ac\)（全項にかける）
\(-a(bx + c)\) \(-abx - ac\)（符号が逆になる）
\(-a(bx - c)\) \(-abx + ac\)（\(-\times- = +\)）
\((bx+c) \div a\) \(\frac{bx}{a} + \frac{c}{a}\)（全項を割る）
\(n \times \frac{bx+c}{a}\) 先に約分、次に展開

よくある間違い まとめ

  1. 一部の項しかかけない・割らない → 全項に適用すること
  2. \(-a(bx - c)\) で \(-\times- = +\) を忘れる → 符号の計算を丁寧に
  3. 通分後の分子展開でカッコを外し忘れる → 必ずカッコをつけてから展開
  4. 前の \(-\) 符号が分数全体につくのを忘れる → \(-\frac{1}{3}(...)\) は全体がマイナス