一次式の計算
文字式の基本
項・係数・一次式とは
数や文字のかけ算だけでできた式を単項式、単項式の和の形の式を多項式という。
\[ 3x \quad \text{（単項式）} \qquad 2x + 5 \quad \text{（多項式）} \]
多項式のひとつひとつの単項式を項という。数だけの項を定数項という。
\[ \underbrace{2x}_{\text{項}} + \underbrace{5}_{\text{定数項}} \]
単項式 \(ax\) の数の部分 \(a\) を、\(x\) の係数という。
\[ 3x \xrightarrow{\quad} \text{係数は } 3 \qquad -5x \xrightarrow{\quad} \text{係数は } {-5} \qquad \frac{1}{2}x \xrightarrow{\quad} \text{係数は } \frac{1}{2} \]
次数と一次式
文字がかけ合わされた個数を次数という。
- \(3x\) → 文字が1個 → 1次式
- \(2x^2\) → 文字が2個（\(x \times x\)）→ 2次式
中学1年生で学ぶのは、文字が1個だけの1次式。
同類項
文字の部分が同じ項を同類項という。同類項はまとめて計算できる。
\[ 3x + 5x = (3 + 5)x = 8x \]
\[ 7x - 2x = (7 - 2)x = 5x \]
同類項のまとめ方
係数どうしを計算して、文字はそのままにする。
\[ ax + bx = (a+b)x \]
文字が違う項はまとめられない
\(3x + 2y\) → \(x\) と \(y\) は文字が違うのでまとめられない。
\(2x + 5\) → 文字のある項と定数項はまとめられない。
一次式の加法・減法
一次式どうしの足し算・引き算
カッコを外して、同類項をまとめる。
\[ (3x + 2) + (5x - 4) = 3x + 2 + 5x - 4 = 8x - 2 \]
\[ (4x - 1) - (2x + 3) = 4x - 1 - 2x - 3 = 2x - 4 \]
引き算でカッコを外すとき
\(A - (B + C)\) のように、マイナスのカッコを外すときは中の符号がすべて逆になる。
\[ -(2x + 3) = -2x - 3 \]
\[ -(5x - 1) = -5x + 1 \]
一次式と数の乗法・除法
数をかける（乗法）
\[ 3 \times (2x + 4) = 3 \times 2x + 3 \times 4 = 6x + 12 \]
\[ -2 \times (3x - 5) = -2 \times 3x + (-2) \times (-5) = -6x + 10 \]
分配法則
カッコの外の数を、カッコの中のすべての項にかける。
\[ a(b + c) = ab + ac \]
数で割る（除法）
割り算は逆数をかける形に直す。
逆数とは（小学校の復習）
ある数の分子と分母をひっくり返した数を逆数という。
| 数 | 逆数 |
| \(\dfrac{2}{3}\) | \(\dfrac{3}{2}\) |
| \(4\) | \(\dfrac{1}{4}\)（\(4 = \dfrac{4}{1}\) なのでひっくり返すと \(\dfrac{1}{4}\)） |
| \(-\dfrac{3}{5}\) | \(-\dfrac{5}{3}\)（符号はそのまま） |
\[ A \div \frac{b}{c} = A \times \frac{c}{b} \]
一次式を数で割るときも、逆数をかける形に直す。
\[ (6x + 4) \div 2 = (6x + 4) \times \frac{1}{2} = 3x + 2 \]
\[ (3x - 9) \div 3 = \frac{3x - 9}{3} = \frac{3x}{3} - \frac{9}{3} = x - 3 \]
\[ (4x + 8) \div \frac{2}{3} = (4x + 8) \times \frac{3}{2} = 6x + 12 \]
分数の係数を含む一次式の計算
足し算・引き算（通分が必要）
通分とは（小学校の復習）
分母が違う分数を足したり引いたりするとき、分母をそろえる操作を通分という。
手順： 1. 分母の最小公倍数を見つける 2. 各分数の分子・分母に同じ数をかけて分母をそろえる 3. 分子どうしを計算する
例： \(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}\)
- 分母 \(2\) と \(3\) の最小公倍数は \(6\)
- \(\dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{6}\)、\(\dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{6}\)
- \(\dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} = \dfrac{5}{6}\)
文字式でも同じ手順で通分する。
文字式での通分の例：
\[ \frac{x}{2} + \frac{x}{3} = \frac{3x}{6} + \frac{2x}{6} = \frac{5x}{6} \]
\[ \frac{2x+1}{3} - \frac{x-2}{4} = \frac{4(2x+1)}{12} - \frac{3(x-2)}{12} = \frac{8x+4 - 3x+6}{12} = \frac{5x+10}{12} \]
通分後の分子の計算に注意
\(\dfrac{x-2}{4}\) に \(3\) をかけると \(\dfrac{3(x-2)}{12} = \dfrac{3x - 6}{12}\)
カッコを外し忘れないこと。マイナスがついているときは特に注意。
かけ算（数 × 分数の係数の式）
\[ 4 \times \frac{3x - 1}{2} = \frac{4(3x-1)}{2} = 2(3x-1) = 6x - 2 \]
\[ \frac{1}{3} \times (6x - 9) = \frac{6x - 9}{3} = 2x - 3 \]
一次式の利用
等式の性質（方程式への橋渡し）
一次式の計算は、これから学ぶ方程式（\(x\) を求める計算）の土台になる。 式を正しく変形できるよう、計算に慣れておこう。
例題
例題１ 同類項をまとめる
次の式を計算せよ。
\[ 5x - 3 + 2x + 7 \]
解答
\(x\) の項と定数項をそれぞれまとめる。
\[ 5x + 2x - 3 + 7 = 7x + 4 \]
例題２ 一次式の加法・減法
次の計算をせよ。
\[ \text{(1)}\quad (4x - 3) + (2x + 5) \qquad \text{(2)}\quad (7x - 2) - (3x - 6) \]
解答
(1) カッコを外して同類項をまとめる。
\[ 4x - 3 + 2x + 5 = 6x + 2 \]
(2) 引き算のカッコを外す（中の符号がすべて逆になる）。
\[ 7x - 2 - 3x + 6 = 4x + 4 \]
例題３ 一次式と数の乗除
次の計算をせよ。
\[ \text{(1)}\quad 3(4x - 2) \qquad \text{(2)}\quad -2(x + 5) \qquad \text{(3)}\quad (8x - 4) \div 4 \]
解答
(1) 分配法則でカッコを外す。
\[ 3 \times 4x + 3 \times (-2) = 12x - 6 \]
(2) 分配法則（マイナスをかけると符号が逆になる）。
\[ -2 \times x + (-2) \times 5 = -2x - 10 \]
(3) 各項を \(4\) で割る。
\[ \frac{8x}{4} - \frac{4}{4} = 2x - 1 \]
例題４ 分数の係数を含む乗除
次の計算をせよ。
\[ \text{(1)}\quad \frac{1}{4}(8x - 12) \qquad \text{(2)}\quad (6x + 3) \div \frac{3}{2} \]
解答
(1) 分配法則で各項に \(\dfrac{1}{4}\) をかける。
\[ \frac{1}{4} \times 8x + \frac{1}{4} \times (-12) = 2x - 3 \]
(2) \(\div \dfrac{3}{2}\) は \(\times \dfrac{2}{3}\)（逆数）に直す。
\[ (6x + 3) \times \frac{2}{3} = \frac{2}{3} \times 6x + \frac{2}{3} \times 3 = 4x + 2 \]
例題５ 分数の係数を含む加減（通分あり）
次の計算をせよ。
\[ \text{(1)}\quad \frac{x}{3} + \frac{x}{6} \qquad \text{(2)}\quad \frac{3x-1}{2} - \frac{x+1}{3} \]
解答
(1) 分母 \(3\) と \(6\) の最小公倍数は \(6\)。
\[ \frac{2x}{6} + \frac{x}{6} = \frac{3x}{6} = \frac{x}{2} \]
(2) 分母 \(2\) と \(3\) の最小公倍数は \(6\)。
\[ \frac{3(3x-1)}{6} - \frac{2(x+1)}{6} = \frac{9x - 3 - 2x - 2}{6} = \frac{7x - 5}{6} \]
分子の計算の注意点
\(-2(x+1) = -2x - 2\) と展開してから計算する。ひき算のカッコを外し忘れないこと。
例題６ 加減乗除の混合
次の計算をせよ。
\[ 2(3x - 1) - 3(x - 4) \]
解答
それぞれ分配法則でカッコを外してから、同類項をまとめる。
\[ 6x - 2 - 3x + 12 = 3x + 10 \]
例題７ 数字を代入する
\(x = -3\) のとき、\(4x + 7\) の値を求めよ。
解答
\(x\) に \(-3\) を代入する。負の数を代入するときは必ずカッコをつける。
\[ 4 \times (-3) + 7 = -12 + 7 = -5 \]
練習問題
(1) 次の式の同類項をまとめよ。
\[ \text{(a)}\quad 6x + 3 - 2x - 8 \qquad \text{(b)}\quad -x + 4 + 5x - 1 \]
解答
(a) \(6x - 2x + 3 - 8 = 4x - 5\)
(b) \(-x + 5x + 4 - 1 = 4x + 3\)
(2) 次の計算をせよ。
\[ \text{(a)}\quad (5x + 2) + (3x - 7) \]
\[ \text{(b)}\quad (2x - 9) + (-4x + 3) \]
\[ \text{(c)}\quad (6x + 1) - (4x - 5) \]
\[ \text{(d)}\quad (-3x + 8) - (-x - 2) \]
解答
(a) \(5x + 2 + 3x - 7 = 8x - 5\)
(b) \(2x - 9 - 4x + 3 = -2x - 6\)
(c) \(6x + 1 - 4x + 5 = 2x + 6\)
(d) \(-3x + 8 + x + 2 = -2x + 10\)
(3) 次の計算をせよ。
\[ \text{(a)}\quad 5(2x - 3) \qquad \text{(b)}\quad -4(3x + 1) \qquad \text{(c)}\quad -3(-2x - 5) \]
解答
(a) \(10x - 15\)
(b) \(-12x - 4\)
(c) \(6x + 15\)
(4) 次の計算をせよ。
\[ \text{(a)}\quad (10x - 6) \div 2 \qquad \text{(b)}\quad (9x + 3) \div (-3) \qquad \text{(c)}\quad (4x - 8) \div \frac{2}{3} \]
解答
(a) \(5x - 3\)
(b) 各項を \((-3)\) で割る：\(-3x - 1\)
(c) \(\div\dfrac{2}{3}\) は \(\times\dfrac{3}{2}\) に直す：\((4x-8)\times\dfrac{3}{2} = 6x - 12\)
(5) 次の計算をせよ。
\[ \text{(a)}\quad \frac{x}{4} + \frac{x}{2} \qquad \text{(b)}\quad \frac{x}{6} - \frac{x}{4} \]
解答
(a) 分母の最小公倍数は \(4\)。
\[\frac{x}{4} + \frac{2x}{4} = \frac{3x}{4}\]
(b) 分母の最小公倍数は \(12\)。
\[\frac{2x}{12} - \frac{3x}{12} = -\frac{x}{12}\]
(6) 次の計算をせよ。
\[ \text{(a)}\quad \frac{2x+3}{4} + \frac{x-1}{2} \]
\[ \text{(b)}\quad \frac{4x-1}{3} - \frac{2x+3}{6} \]
解答
(a) 分母の最小公倍数は \(4\)。
\[\frac{2x+3}{4} + \frac{2(x-1)}{4} = \frac{2x+3+2x-2}{4} = \frac{4x+1}{4}\]
(b) 分母の最小公倍数は \(6\)。
\[\frac{2(4x-1)}{6} - \frac{2x+3}{6} = \frac{8x-2-2x-3}{6} = \frac{6x-5}{6}\]
(7) 次の計算をせよ。
\[ \text{(a)}\quad 3(2x-1) + 2(x+4) \qquad \text{(b)}\quad 4(x+3) - 3(2x-1) \]
解答
(a) \(6x - 3 + 2x + 8 = 8x + 5\)
(b) \(4x + 12 - 6x + 3 = -2x + 15\)
(8) 次の計算をせよ。
\[ \frac{1}{2}(4x - 6) - \frac{1}{3}(6x + 9) \]
解答
それぞれ分配法則を使う。
\[2x - 3 - 2x - 3 = -6\]
一次の項が消えた
\(x\) の項がすべて消えて定数だけが残ることもある。このような式は0次式（定数）。
(9) \(x = 2\) のとき、次の式の値を求めよ。
\[ \text{(a)}\quad 3x - 5 \qquad \text{(b)}\quad -2x + 7 \qquad \text{(c)}\quad \frac{x+4}{2} \]
解答
(a) \(3 \times 2 - 5 = 6 - 5 = 1\)
(b) \(-2 \times 2 + 7 = -4 + 7 = 3\)
(c) \(\dfrac{2+4}{2} = \dfrac{6}{2} = 3\)
(10) \(x = -4\) のとき、次の式の値を求めよ。
\[ \text{(a)}\quad 5x + 3 \qquad \text{(b)}\quad -3x - 2 \qquad \text{(c)}\quad \frac{2x-1}{3} \]
解答
(a) \(5 \times (-4) + 3 = -20 + 3 = -17\)
(b) \(-3 \times (-4) - 2 = 12 - 2 = 10\)
(c) \(\dfrac{2\times(-4)-1}{3} = \dfrac{-8-1}{3} = \dfrac{-9}{3} = -3\)
(11)（発展） 次の計算をせよ。
\[ \frac{3(2x-1)}{4} - \frac{2(x+3)}{3} \]
解答
分母の最小公倍数は \(12\)。
\[\frac{9(2x-1)}{12} - \frac{8(x+3)}{12} = \frac{18x - 9 - 8x - 24}{12} = \frac{10x - 33}{12}\]
(12)（発展） \(x = -\dfrac{1}{2}\) のとき、\(6x^2 - 4x + 1\) の値を求めよ。
解答
\(x = -\dfrac{1}{2}\) を代入（カッコをつけて丁寧に）。
\[ 6 \times \left(-\frac{1}{2}\right)^2 - 4 \times \left(-\frac{1}{2}\right) + 1 = 6 \times \frac{1}{4} + 2 + 1 = \frac{3}{2} + 3 = \frac{9}{2} \]
まとめ
一次式の計算のポイント
| 内容 | ポイント |
| 同類項 | 文字の部分が同じ項をまとめる。係数だけを計算。 |
| 加法・減法 | カッコを外してから同類項をまとめる。引き算は符号が逆になる。 |
| 数 × 一次式 | 分配法則でカッコ内の全項にかける。 |
| 一次式 ÷ 数 | 各項を割る。分数で割るときは逆数をかける。 |
| 分数の加減 | 通分（最小公倍数で分母をそろえる）してから計算。 |
| 代入 | 負の数を代入するときは必ずカッコをつける。 |
よくあるミス
- 引き算でカッコを外すとき、中の符号を逆にし忘れる
- 分配法則で、カッコの中の一部の項だけにしかかけない
- 通分後、分子のカッコを展開するときマイナスをかけ忘れる
- 負の数を代入するときにカッコをつけない