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一次方程式　まとめ練習問題

一次方程式の解き方（移項・かっこ・分数・小数）と文章題の総まとめ。

第1章　基本の移項（\(x + a = b\)、\(ax = b\)）

(1) \(x + 4 = 11\)

解答

\(x = 11 - 4 = 7\)

(2) \(x - 6 = -2\)

解答

\(x = -2 + 6 = 4\)

(3) \(x + 9 = 3\)

解答

\(x = 3 - 9 = -6\)

(4) \(x - 5 = -13\)

解答

\(x = -13 + 5 = -8\)

(5) \(3x = 21\)

解答

\(x = 21 \div 3 = 7\)

(6) \(-4x = 28\)

解答

\(x = 28 \div (-4) = -7\)

(7) \(-x = -9\)

解答

両辺に \(-1\) をかける：\(x = 9\)

(8) \(6x = -42\)

解答

\(x = -42 \div 6 = -7\)

第2章　\(ax + b = c\) の形

(9) \(2x + 5 = 13\)

解答

\(2x = 13 - 5 = 8 \implies x = 4\)

(10) \(3x - 7 = 14\)

解答

\(3x = 14 + 7 = 21 \implies x = 7\)

(11) \(-5x + 4 = -11\)

解答

\(-5x = -11 - 4 = -15 \implies x = 3\)

(12) \(4x + 9 = 1\)

解答

\(4x = 1 - 9 = -8 \implies x = -2\)

(13) \(-3x - 8 = 7\)

解答

\(-3x = 7 + 8 = 15 \implies x = -5\)

(14) \(7x + 2 = -19\)

解答

\(7x = -19 - 2 = -21 \implies x = -3\)

(15) \(-2x - 5 = -1\)

解答

\(-2x = -1 + 5 = 4 \implies x = -2\)

(16) \(10x - 3 = 7\)

解答

\(10x = 10 \implies x = 1\)

第3章　両辺に \(x\) がある形（\(ax + b = cx + d\)）

(17) \(5x + 1 = 3x + 9\)

解答

\(5x - 3x = 9 - 1 \implies 2x = 8 \implies x = 4\)

(18) \(7x - 3 = 4x + 12\)

解答

\(7x - 4x = 12 + 3 \implies 3x = 15 \implies x = 5\)

(19) \(2x + 7 = -x + 1\)

解答

\(2x + x = 1 - 7 \implies 3x = -6 \implies x = -2\)

(20) \(4 - 3x = 2x - 6\)

解答

\(-3x - 2x = -6 - 4 \implies -5x = -10 \implies x = 2\)

(21) \(-2x + 9 = 5x - 5\)

解答

\(-2x - 5x = -5 - 9 \implies -7x = -14 \implies x = 2\)

(22) \(8x - 2 = 3x + 18\)

解答

\(8x - 3x = 18 + 2 \implies 5x = 20 \implies x = 4\)

(23) \(6 - x = 3x - 2\)

解答

\(-x - 3x = -2 - 6 \implies -4x = -8 \implies x = 2\)

(24) \(-4x + 15 = -x + 6\)

解答

\(-4x + x = 6 - 15 \implies -3x = -9 \implies x = 3\)

第4章　かっこを含む方程式

(25) \(3(x - 2) = 9\)

解答

\(3x - 6 = 9 \implies 3x = 15 \implies x = 5\)

(26) \(2(x + 5) = -4\)

解答

\(2x + 10 = -4 \implies 2x = -14 \implies x = -7\)

(27) \(4(2x - 1) = 20\)

解答

\(8x - 4 = 20 \implies 8x = 24 \implies x = 3\)

(28) \(-3(x + 4) = 6\)

解答

\(-3x - 12 = 6 \implies -3x = 18 \implies x = -6\)

(29) \(2(x + 3) = 4(x - 1)\)

解答

\(2x + 6 = 4x - 4 \implies 2x - 4x = -4 - 6 \implies -2x = -10 \implies x = 5\)

(30) \(3(2x + 1) = 2(x + 9)\)

解答

\(6x + 3 = 2x + 18 \implies 6x - 2x = 18 - 3 \implies 4x = 15 \implies x = \dfrac{15}{4}\)

(31) \(5(x - 2) - 3(x + 1) = 1\)

解答

\(5x - 10 - 3x - 3 = 1 \implies 2x - 13 = 1 \implies 2x = 14 \implies x = 7\)

(32) \(2(3x - 5) = -(x + 4)\)

解答

\(6x - 10 = -x - 4 \implies 6x + x = -4 + 10 \implies 7x = 6 \implies x = \dfrac{6}{7}\)

第5章　分数を含む方程式

(33) \(\dfrac{x}{4} = 3\)

解答

両辺に \(4\) をかける：\(x = 12\)

(34) \(\dfrac{x}{5} - 1 = 2\)

解答

両辺に \(5\) をかける：\(x - 5 = 10 \implies x = 15\)

(35) \(\dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{3} = 5\)

解答

分母の最小公倍数 \(6\) を両辺にかける：

\[3x + 2x = 30 \implies 5x = 30 \implies x = 6\]

(36) \(\dfrac{2x - 1}{3} = 3\)

解答

両辺に \(3\) をかける：\(2x - 1 = 9 \implies 2x = 10 \implies x = 5\)

(37) \(\dfrac{x + 2}{4} = \dfrac{x - 1}{2}\)

解答

分母の最小公倍数 \(4\) を両辺にかける：

\[x + 2 = 2(x - 1) \implies x + 2 = 2x - 2 \implies -x = -4 \implies x = 4\]

(38) \(\dfrac{x}{3} - \dfrac{x - 1}{2} = 1\)

解答

分母の最小公倍数 \(6\) を両辺にかける：

\[2x - 3(x - 1) = 6 \implies 2x - 3x + 3 = 6 \implies -x = 3 \implies x = -3\]

(39) \(\dfrac{3x + 1}{5} - \dfrac{x - 2}{3} = 0\)

解答

分母の最小公倍数 \(15\) を両辺にかける：

\[3(3x + 1) - 5(x - 2) = 0\]
\[9x + 3 - 5x + 10 = 0 \implies 4x + 13 = 0 \implies x = -\frac{13}{4}\]

(40) \(\dfrac{2x - 3}{4} = \dfrac{x + 1}{6}\)

解答

分母の最小公倍数 \(12\) を両辺にかける：

\[3(2x - 3) = 2(x + 1) \implies 6x - 9 = 2x + 2 \implies 4x = 11 \implies x = \frac{11}{4}\]

第6章　小数を含む方程式

(41) \(0.3x = 1.2\)

解答

両辺に \(10\) をかける：\(3x = 12 \implies x = 4\)

(42) \(0.5x - 0.7 = 1.3\)

解答

両辺に \(10\) をかける：\(5x - 7 = 13 \implies 5x = 20 \implies x = 4\)

(43) \(0.4x + 1 = 0.1x + 2.5\)

解答

両辺に \(10\) をかける：\(4x + 10 = x + 25 \implies 3x = 15 \implies x = 5\)

(44) \(1.2x - 0.8 = 0.4x + 2.4\)

解答

両辺に \(10\) をかける：\(12x - 8 = 4x + 24 \implies 8x = 32 \implies x = 4\)

第7章　文章題（個数・代金）

(45) 1個 \(60\) 円のみかんと 1個 \(100\) 円のリンゴを合わせて \(8\) 個買ったら \(600\) 円だった。みかんとリンゴはそれぞれ何個か。

解答

みかんを \(x\) 個とすると、リンゴは \((8 - x)\) 個。

\[60x + 100(8 - x) = 600\]
\[60x + 800 - 100x = 600\]
\[-40x = -200 \implies x = 5\]

みかん 5個、リンゴ 3個。

確認：\(60 \times 5 + 100 \times 3 = 300 + 300 = 600\) ✅

(46) えんぴつ \(1\) 本 \(50\) 円のものを何本か買い、\(1000\) 円出したらおつりが \(200\) 円だった。えんぴつは何本買ったか。

解答

えんぴつを \(x\) 本とする。

\[50x = 1000 - 200 = 800 \implies x = 16\]

16本。

(47) ある品物を定価の \(2\) 割引きで買ったら \(960\) 円だった。定価を求めよ。

解答

定価を \(x\) 円とする。

\[x \times (1 - 0.2) = 960 \implies 0.8x = 960\]

両辺に \(10\) をかける：\(8x = 9600 \implies x = 1200\)

定価 1200円。

第8章　文章題（速さ・距離・時間）

(48) 家から学校まで \(1.8\) km の道のりを毎分 \(60\) m の速さで歩いた。何分かかるか。

解答

かかる時間を \(x\) 分とする（\(1.8 \text{ km} = 1800 \text{ m}\)）。

\[60x = 1800 \implies x = 30\]

30分。

(49) A 地点から B 地点まで、行きは時速 \(4\) km、帰りは時速 \(6\) km で歩いた。往復で \(2.5\) 時間かかった。A・B 間の距離を求めよ。

解答

A・B 間の距離を \(x\) km とする。

\[\frac{x}{4} + \frac{x}{6} = 2.5\]

分母の最小公倍数 \(12\) を両辺にかける：

\[3x + 2x = 30 \implies 5x = 30 \implies x = 6\]

6 km。

確認：行き \(\dfrac{6}{4} = 1.5\) 時間、帰り \(\dfrac{6}{6} = 1\) 時間、合計 \(2.5\) 時間 ✅

(50) 兄は家を出て分速 \(80\) m で歩き始めた。その \(5\) 分後に弟が同じ道を分速 \(120\) m で追いかけた。弟が兄に追いつくのは、弟が出発してから何分後か。

解答

弟が出発してから \(x\) 分後に追いつくとする。

このとき兄は \((x + 5)\) 分間歩いている。

\[80(x + 5) = 120x\]
\[80x + 400 = 120x\]
\[400 = 40x \implies x = 10\]

10分後。

確認：兄 \(80 \times 15 = 1200\) m、弟 \(120 \times 10 = 1200\) m ✅

第9章　文章題（年齢・整数）

(51) 連続する \(3\) つの整数の和が \(-12\) になる。この \(3\) つの整数を求めよ。

解答

真ん中の整数を \(x\) とすると、\(3\) 数は \(x - 1,\ x,\ x + 1\)。

\[(x - 1) + x + (x + 1) = -12 \implies 3x = -12 \implies x = -4\]

\(-5,\ -4,\ -3\)。

確認：\(-5 + (-4) + (-3) = -12\) ✅

(52) 連続する \(2\) つの奇数の和が \(56\) になる。この \(2\) つの奇数を求めよ。

解答

小さい方の奇数を \(x\) とすると、大きい方は \(x + 2\)。

\[x + (x + 2) = 56 \implies 2x + 2 = 56 \implies 2x = 54 \implies x = 27\]

\(27,\ 29\)。

(53) 現在、母の年齢は \(38\) 歳、子の年齢は \(8\) 歳。母の年齢が子の年齢の \(3\) 倍になるのは何年後か。

解答

\(x\) 年後とする。

\[38 + x = 3(8 + x)\]
\[38 + x = 24 + 3x\]
\[38 - 24 = 3x - x\]
\[14 = 2x \implies x = 7\]

7年後。

確認：母 \(45\) 歳、子 \(15\) 歳 → \(45 = 3 \times 15\) ✅

(54) 十の位の数が \(5\) の \(2\) 桁の自然数がある。十の位と一の位を入れ替えてできた数は、もとの数より \(27\) 小さい。もとの数を求めよ。

解答

一の位を \(x\) とすると、もとの数は \(50 + x\)、入れ替えた数は \(10x + 5\)。

\[50 + x - (10x + 5) = 27\]
\[50 + x - 10x - 5 = 27\]
\[45 - 9x = 27\]
\[-9x = -18 \implies x = 2\]

もとの数は 52。

確認：\(52 - 25 = 27\) ✅

第10章　発展・総合問題

(55) \(x\) についての方程式 \(3x + a = 11\) の解が \(x = 4\) であるとき、\(a\) の値を求めよ。

解答

\(x = 4\) を代入：

\[3 \times 4 + a = 11 \implies 12 + a = 11 \implies a = -1\]

(56) 次の方程式を解け。

\[\frac{3x - 2}{4} - \frac{x + 3}{6} = 1\]
解答

分母の最小公倍数 \(12\) を両辺にかける：

\[3(3x - 2) - 2(x + 3) = 12\]
\[9x - 6 - 2x - 6 = 12\]
\[7x - 12 = 12 \implies 7x = 24 \implies x = \frac{24}{7}\]

(57) \(x\) についての方程式 \(ax - 6 = 2x + b\) の解が \(x = 3\) で、 そのとき \(ax - 6 = 0\) が成り立つ。\(a\)、\(b\) の値を求めよ。

解答

\(ax - 6 = 0\) に \(x = 3\) を代入：

\[3a - 6 = 0 \implies 3a = 6 \implies a = 2\]

\(x = 3\) を元の方程式に代入：

\[2 \times 3 - 6 = 2 \times 3 + b \implies 0 = 6 + b \implies b = -6\]

(58) 全体で \(200\) 問ある問題集を、最初の \(10\) 日間は毎日 \(8\) 問、残りは毎日 \(12\) 問解くことにした。全部解き終わるまでに何日かかるか。

解答

最初の \(10\) 日で \(8 \times 10 = 80\) 問解く。残りは \(200 - 80 = 120\) 問。

残りを解く日数を \(x\) 日とする。

\[12x = 120 \implies x = 10\]

全部で $10 + 10 = $ 20日。

(59) A と B の \(2\) つの容器に合わせて \(90\) L の水が入っている。A から B に \(15\) L 移したところ、B の水の量が A の \(2\) 倍になった。はじめ A に入っていた水の量を求めよ。

解答

はじめ A に \(x\) L 入っていたとすると、B には \((90 - x)\) L。

移動後：A は \((x - 15)\) L、B は \((90 - x + 15) = (105 - x)\) L。

\[105 - x = 2(x - 15)\]
\[105 - x = 2x - 30\]
\[135 = 3x \implies x = 45\]

はじめ A に 45 L。

確認：移動後 A は \(30\) L、B は \(60\) L → \(60 = 2 \times 30\) ✅

(60) 周囲が \(120\) m の長方形の土地がある。縦の長さが横の長さより \(10\) m 長い。縦と横の長さをそれぞれ求めよ。

解答

横の長さを \(x\) m とすると、縦は \((x + 10)\) m。

\[2\{x + (x + 10)\} = 120\]
\[2(2x + 10) = 120\]
\[4x + 20 = 120 \implies 4x = 100 \implies x = 25\]

横 25 m、縦 35 m。

確認：\(2 \times (25 + 35) = 2 \times 60 = 120\) m ✅

問題一覧

章 内容 問題番号
第1章 基本の移項（\(x + a = b\)、\(ax = b\)） 1〜8
第2章 \(ax + b = c\) の形 9〜16
第3章 両辺に \(x\) がある形 17〜24
第4章 かっこを含む方程式 25〜32
第5章 分数を含む方程式 33〜40
第6章 小数を含む方程式 41〜44
第7章 文章題（個数・代金） 45〜47
第8章 文章題（速さ・距離・時間） 48〜50
第9章 文章題（年齢・整数） 51〜54
第10章 発展・総合問題 55〜60