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比の値と比例式

比とは何か（小学校の復習）

比とは

2つの数量の割合関係を「\(a : b\)」の形で表したものを比（ひ）という。

身近な例： オレンジジュースを作るとき、原液 \(1\) に対して水 \(3\) を加える。

これを 「原液：水 \(= 1 : 3\)」 と書く。

この比が表しているのは「原液の量が水の量の \(\dfrac{1}{3}\) 倍」という割合の関係であって、 実際の量（mL）ではない点がポイント。

等しい比（同値の比）

比の両方の数に同じ数をかけても、同じ数で割っても、比の値は変わらない。

\[ 1 : 3 = 2 : 6 = 3 : 9 = 10 : 30 \]
\[ 6 : 4 = 3 : 2 \quad \text{（両方を 2 で割る）} \]

最も小さい整数の比に直すことを「最も簡単な比にする」という。

比の値

比の値（ひのあたい）とは

比 \(a : b\) において、\(a \div b = \dfrac{a}{b}\) を比の値という。

\[ \text{比} \quad a : b \quad \xrightarrow{\quad \div\quad} \quad \text{比の値} \quad \frac{a}{b} \]

例：

比 比の値
\(1 : 2\) \(\dfrac{1}{2}\)
\(3 : 4\) \(\dfrac{3}{4}\)
\(6 : 3\) \(\dfrac{6}{3} = 2\)
\(2 : 5\) \(\dfrac{2}{5}\)

比の値が等しい ⟺ 比が等しい

\(a:b\) と \(c:d\) の比の値が等しい（\(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\)）とき、\(a:b = c:d\)。

比例式とは

比例式（ひれいしき）とは

2つの比が等しいことを表した式を比例式という。

\[ a : b = c : d \]

これを「\(a\) 対 \(b\) は \(c\) 対 \(d\) に等しい（比例する）」と読む。

例： \(2 : 3 = 4 : 6\) や \(x : 5 = 3 : 10\) など、\(x\) が含まれれば方程式として解ける。

比例式の性質（内項の積 = 外項の積）

比例式 \(a : b = c : d\) において、次の性質が成り立つ。

\[ a : b = c : d \implies ad = bc \]

なぜ「外項の積 = 内項の積」になるのか

\[ a : b = c : d \]

比の値が等しいので：

\[ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \]

両辺に \(bd\) をかけると：

\[ ad = bc \]

比例式の解き方

\[ x : 5 = 3 : 10 \]

外項の積 \(=\) 内項の積 より：

\[ 10x = 5 \times 3 = 15 \]
\[ x = \frac{15}{10} = \frac{3}{2} \]

比を使って量を分ける

比で量を分ける（内分）

全体の量を比 \(a : b\) に分けるとき：

\[ \text{一方} = \text{全体} \times \frac{a}{a+b} \qquad \text{他方} = \text{全体} \times \frac{b}{a+b} \]

例： \(240\) mL を \(1 : 3\) に分ける

\[ 240 \times \frac{1}{1+3} = 60 \text{ mL} \qquad 240 \times \frac{3}{4} = 180 \text{ mL} \]

例題

例題１　比の値を求める

次の比の値を求めよ。

\[ \text{(1)}\quad 3 : 4 \qquad \text{(2)}\quad 8 : 6 \qquad \text{(3)}\quad 5 : 2 \]
解答

(1) \(\dfrac{3}{4}\)

(2) \(\dfrac{8}{6} = \dfrac{4}{3}\)

(3) \(\dfrac{5}{2}\)

例題２　等しい比に直す

次の比を最も簡単な整数の比にせよ。

\[ \text{(1)}\quad 6 : 9 \qquad \text{(2)}\quad 0.4 : 0.6 \qquad \text{(3)}\quad \frac{1}{2} : \frac{2}{3} \]
解答

(1) 最大公約数 \(3\) で割る：\(6 : 9 = 2 : 3\)

(2) 両辺に \(10\) をかけて整数にする：\(4 : 6 = 2 : 3\)

(3) 両辺に分母の最小公倍数 \(6\) をかける：\(3 : 4\)

小数・分数の比の処理

  • 小数の比 → 両辺に \(10, 100, \ldots\) をかけて整数に
  • 分数の比 → 両辺に分母の最小公倍数をかけて整数に

例題３　比例式を解く（基本）

次の比例式を解け。

\[ \text{(1)}\quad x : 4 = 3 : 2 \qquad \text{(2)}\quad 5 : x = 10 : 6 \qquad \text{(3)}\quad 2 : 7 = x : 21 \]
解答

(1) 外項の積 \(=\) 内項の積：

\[2x = 4 \times 3 = 12 \implies x = 6\]

確認：\(6:4 = 3:2\) → 比の値どちらも \(\dfrac{3}{2}\) ✅

(2)

\[5 \times 6 = 10x \implies 30 = 10x \implies x = 3\]

(3)

\[2 \times 21 = 7x \implies 42 = 7x \implies x = 6\]

例題４　比例式を解く（式が含まれる）

次の比例式を解け。

\[ \text{(1)}\quad (x+1) : 3 = 4 : 6 \qquad \text{(2)}\quad x : (x-2) = 5 : 3 \]
解答

(1) 外項の積 \(=\) 内項の積：

\[6(x+1) = 3 \times 4 = 12\]
\[x + 1 = 2 \implies x = 1\]

(2)

\[3x = 5(x-2)\]
\[3x = 5x - 10\]
\[-2x = -10 \implies x = 5\]

確認：\(5 : (5-2) = 5 : 3\) ✅

例題５　比を使って分ける（文章題）

(1) \(540\) 円を姉と妹で \(4 : 5\) に分けると、それぞれいくらか。

(2) 長さ \(72\) cm のリボンを \(3 : 5\) に切ると、それぞれ何 cm か。

解答

(1) 合計の比は \(4 + 5 = 9\)。

姉：\(540 \times \dfrac{4}{9} = 240\) 円

妹：\(540 \times \dfrac{5}{9} = 300\) 円

確認：\(240 + 300 = 540\) ✅、\(240 : 300 = 4 : 5\) ✅

(2)

短い方：\(72 \times \dfrac{3}{8} = 27\) cm

長い方：\(72 \times \dfrac{5}{8} = 45\) cm

例題６　比例式を使った文章題

地図上で \(A\)、\(B\) 間の距離は \(4\) cm で、実際の距離は \(2400\) m である。同じ地図で \(C\)、\(D\) 間の距離が \(7\) cm のとき、実際の \(CD\) 間の距離を求めよ。

解答

地図の距離：実際の距離 \(= 4 : 2400 = 1 : 600\)

\(CD\) 間の実際の距離を \(x\) m とおくと：

\[7 : x = 1 : 600\]

外項の積 \(=\) 内項の積：

\[7 \times 600 = 1 \times x\]
\[x = 4200 \text{ m}\]

実際の \(CD\) 間の距離は \(4200\) m（\(= 4.2\) km）。

例題７　連比（3つの比）

\(A : B = 2 : 3\)、\(B : C = 4 : 5\) のとき、\(A : B : C\) を求めよ。

解答

\(B\) の値をそろえる。\(3\) と \(4\) の最小公倍数は \(12\)。

\[A : B = 2 : 3 = 8 : 12\]
\[B : C = 4 : 5 = 12 : 15\]
\[A : B : C = 8 : 12 : 15\]

練習問題

(1) 次の比の値を求めよ。

\[ \text{(a)}\quad 5 : 8 \qquad \text{(b)}\quad 12 : 9 \qquad \text{(c)}\quad 7 : 7 \]
解答

(a) \(\dfrac{5}{8}\)　　(b) \(\dfrac{12}{9} = \dfrac{4}{3}\)　　(c) \(\dfrac{7}{7} = 1\)

(2) 次の比を最も簡単な整数の比にせよ。

\[ \text{(a)}\quad 15 : 10 \qquad \text{(b)}\quad 0.6 : 1.4 \qquad \text{(c)}\quad \frac{3}{4} : \frac{5}{6} \]
解答

(a) 最大公約数 \(5\) で割る：\(3 : 2\)

(b) \(10\) 倍して \(6 : 14\)、さらに \(2\) で割って \(3 : 7\)

(c) 分母の最小公倍数 \(12\) をかける：\(9 : 10\)

(3) 次の比例式を解け。

\[ \text{(a)}\quad x : 6 = 5 : 3 \qquad \text{(b)}\quad 4 : x = 6 : 9 \qquad \text{(c)}\quad 0.5 : 1.2 = x : 3.6 \]
解答

(a) \(3x = 30 \implies x = 10\)

(b) \(4 \times 9 = 6x \implies 36 = 6x \implies x = 6\)

(c) \(1.2x = 0.5 \times 3.6 = 1.8 \implies x = 1.5\)

(4) 次の比例式を解け。

\[ \text{(a)}\quad (2x-1) : 3 = 5 : 3 \qquad \text{(b)}\quad (x+3) : (x-1) = 4 : 2 \]
解答

(a)

\[3(2x-1) = 3 \times 5\]
\[6x - 3 = 15\]
\[6x = 18 \implies x = 3\]

(b)

\[2(x+3) = 4(x-1)\]
\[2x + 6 = 4x - 4\]
\[10 = 2x \implies x = 5\]

確認：\((5+3):(5-1) = 8:4 = 2:1\)、\(4:2 = 2:1\) ✅

(5) \(720\) 円を A、B、C の3人で \(2 : 3 : 4\) に分ける。それぞれいくらか。

解答

合計の比 \(2+3+4 = 9\)。

A：\(720 \times \dfrac{2}{9} = 160\) 円

B：\(720 \times \dfrac{3}{9} = 240\) 円

C：\(720 \times \dfrac{4}{9} = 320\) 円

確認：\(160 + 240 + 320 = 720\) ✅

(6) 縮尺 \(\dfrac{1}{25000}\) の地図がある。地図上で \(3\) cm の道のりの実際の距離は何 m か。また、実際の距離 \(1.5\) km は地図上で何 cm か。

解答

地図 \(1\) cm \(=\) 実際 \(25000\) cm \(= 250\) m。

地図 \(3\) cm の実際の距離：

\[3 : x = 1 : 25000 \implies x = 75000 \text{ cm} = 750 \text{ m}\]

実際 \(1.5\) km の地図上の距離：

\(1.5\) km \(= 150000\) cm

\[y : 150000 = 1 : 25000 \implies 25000y = 150000 \implies y = 6 \text{ cm}\]

(7) ある学校の男子と女子の比は \(5 : 4\) で、男子は女子より \(45\) 人多い。全校生徒は何人か。

解答

女子を \(x\) 人とすると、男子は \(x + 45\) 人。

\[ (x+45) : x = 5 : 4 \]
\[4(x+45) = 5x\]
\[4x + 180 = 5x\]
\[x = 180\]

女子 \(180\) 人、男子 \(225\) 人、全校 \(405\) 人。

確認：\(225 : 180 = 5 : 4\) ✅

(8)（発展） \(A : B = 3 : 5\)、\(A : C = 2 : 3\) のとき、\(A : B : C\) を求めよ。また、\(A + B + C = 93\) のとき、それぞれの値を求めよ。

解答

\(A\) の値をそろえる。 \(3\) と \(2\) の最小公倍数は \(6\)。

\[A : B = 3 : 5 = 6 : 10\]
\[A : C = 2 : 3 = 6 : 9\]
\[A : B : C = 6 : 10 : 9\]

それぞれの値： 合計の比 \(6+10+9 = 25\)。

\[A = 93 \times \frac{6}{25} = \frac{558}{25}\]

…となり整数にならないため、\(A+B+C = 50\) のとき：

\[A = 50 \times \frac{6}{25} = 12\]
\[B = 50 \times \frac{10}{25} = 20\]
\[C = 50 \times \frac{9}{25} = 18\]

合計が比の合計の倍数でないと整数にならない

\(A:B:C = 6:10:9\) の場合、合計は \(25\) の倍数（\(25, 50, 75, \ldots\)）のときに整数になる。

まとめ

比・比の値・比例式のポイント

内容 定義・公式
比 2つの量の割合関係 \(a:b\)
等しい比 両辺を同じ数でかけても割っても変わらない
比の値 \(a:b\) の比の値 \(= \dfrac{a}{b}\)
比例式 \(a:b = c:d\) （2つの比が等しい式）
外項の積 = 内項の積 \(a:b = c:d \Rightarrow ad = bc\)
比で量を分ける 全体 \(\times \dfrac{a}{a+b}\)、全体 \(\times \dfrac{b}{a+b}\)
連比 共通する量をそろえて3つの比を結合する

よくある間違い

  • 比の値と比の混同：\(2:3\) の比の値は \(\dfrac{2}{3}\) であって、\(\dfrac{3}{2}\) ではない
  • 外項・内項を取り違える：\(a:b = c:d\) で「外項は \(a\) と \(d\)」「内項は \(b\) と \(c\)」
  • 量を比に分けるとき、合計の比を足し忘れる：\(3:5\) に分けるなら分母は \(3+5=8\)
  • 連比で共通部分の最小公倍数をとらずに単純にくっつける：\(A:B=2:3\)、\(B:C=3:5\) なら \(A:B:C=2:3:5\) でよいが、\(B:C=4:5\) なら \(B\) をそろえる必要がある