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一次方程式の解き方

方程式とは何か

「\(x\) を求める」ということ

算数では「\(3 + \square = 7\)」の \(\square\) を求めた。 方程式はその発展で、\(\square\) のかわりに \(x\)（エックス） という文字を使う。

\[ x + 3 = 7 \]

この式の「\(x\) に何を入れると成り立つか」を求めることが方程式を解くということ。

方程式の用語

  • 方程式の左側を左辺、右側を右辺という
  • 方程式を成り立たせる \(x\) の値を解という
  • 解を求めることを方程式を解くという

等式の性質：てんびんと同じルール

方程式はてんびんと同じ。両側に同じ操作をすればつり合いが保たれる。

等式の性質

方程式の両辺に同じ操作をしても等式は成り立つ。

これが方程式を解くときの「正当な変形」の根拠。

一次方程式の解き方：移項

移項とは

\(x + 3 = 7\) を解きたい。左辺の \(+3\) を取り除くには、両辺から \(3\) を引けばよい。

\[ x + 3 = 7 \]
\[ x + 3 \mathbf{- 3} = 7 \mathbf{- 3} \]
\[ x = 4 \]

この「\(+3\) を右辺に移して \(-3\) にする」操作を移項という。

移項のルール

項を反対側の辺に移すとき、符号が逆になる。

\[ +a \text{ を移項} \to -a \qquad -a \text{ を移項} \to +a \]

一次方程式を解く標準手順

\[ 3x - 5 = 7 \]

一次方程式を解く手順

  1. 移項：\(x\) の項を左辺に、数の項を右辺にまとめる
  2. 整理：左辺・右辺をそれぞれ計算する
  3. 割る：両辺を \(x\) の係数で割る
  4. 確認：解を元の式に代入して確かめる

よくある形ごとの解き方

パターン①：\(x + a = b\) の形

\[ x - 4 = 9 \]
\[ x = 9 + 4 = 13 \]

パターン②：\(ax = b\) の形

\[ 5x = -20 \]
\[ x = -20 \div 5 = -4 \]

パターン③：\(ax + b = c\) の形（基本）

\[ 2x + 3 = 11 \]
\[ 2x = 11 - 3 = 8 \]
\[ x = 8 \div 2 = 4 \]

パターン④：両辺に \(x\) がある形

\[ 5x - 2 = 2x + 7 \]

手順： - \(x\) の項はすべて左辺に移項 - 数の項はすべて右辺に移項

パターン⑤：カッコがある形

\[ 3(x + 2) = 15 \]

方法A：先にカッコを展開

\[ 3x + 6 = 15 \implies 3x = 9 \implies x = 3 \]

方法B：先に両辺を 3 で割る

\[ x + 2 = 5 \implies x = 3 \]

パターン⑥：分数がある形

\[ \frac{x}{3} + 1 = 4 \]

分数をふくむ方程式の解き方

両辺に分母の最小公倍数をかけて、分数を整数に直す（分母をはらう）。

\[ \frac{x}{3} + 1 = 4 \]

両辺に \(3\) をかける：

\[ 3 \times \frac{x}{3} + 3 \times 1 = 3 \times 4 \]
\[ x + 3 = 12 \implies x = 9 \]

例題

例題１　基本の移項

次の方程式を解け。

\[ \text{(1)}\quad x + 6 = 10 \qquad \text{(2)}\quad x - 3 = -7 \qquad \text{(3)}\quad 4x = -28 \]
解答

(1) \(x = 10 - 6 = 4\)

確認：\(4 + 6 = 10\) ✅

(2) \(x = -7 + 3 = -4\)

確認：\(-4 - 3 = -7\) ✅

(3) \(x = -28 \div 4 = -7\)

確認：\(4 \times (-7) = -28\) ✅

例題２　\(ax + b = c\) の形

次の方程式を解け。

\[ \text{(1)}\quad 3x + 5 = 14 \qquad \text{(2)}\quad -2x - 3 = 7 \qquad \text{(3)}\quad 5x - 8 = -3 \]
解答

(1) \(3x = 14 - 5 = 9 \implies x = 3\)

(2) \(-2x = 7 + 3 = 10 \implies x = 10 \div (-2) = -5\)

(3) \(5x = -3 + 8 = 5 \implies x = 1\)

例題３　両辺に \(x\) がある

次の方程式を解け。

\[ \text{(1)}\quad 7x - 3 = 4x + 9 \qquad \text{(2)}\quad 2x + 5 = -x - 4 \]
解答

(1)

\[7x - 4x = 9 + 3\]
\[3x = 12 \implies x = 4\]

確認：左辺 \(7\times4-3=25\)、右辺 \(4\times4+9=25\) ✅

(2)

\[2x + x = -4 - 5\]
\[3x = -9 \implies x = -3\]

確認：左辺 \(2\times(-3)+5=-1\)、右辺 \(-(-3)-4=-1\) ✅

例題４　カッコがある方程式

次の方程式を解け。

\[ \text{(1)}\quad 2(x - 3) = 8 \qquad \text{(2)}\quad 3(2x + 1) = 2(x - 5) \]
解答

(1)

カッコを展開：\(2x - 6 = 8\)

\[2x = 14 \implies x = 7\]

(2)

展開：\(6x + 3 = 2x - 10\)

\[6x - 2x = -10 - 3\]
\[4x = -13 \implies x = -\frac{13}{4}\]

例題５　分数を含む方程式

次の方程式を解け。

\[ \text{(1)}\quad \frac{x}{4} = 3 \qquad \text{(2)}\quad \frac{x}{2} + 1 = \frac{x}{3} + 3 \]
解答

(1)

両辺に \(4\) をかける：\(x = 12\)

(2)

分母の最小公倍数 \(6\) を両辺にかける：

\[6 \times \frac{x}{2} + 6 \times 1 = 6 \times \frac{x}{3} + 6 \times 3\]
\[3x + 6 = 2x + 18\]
\[3x - 2x = 18 - 6\]
\[x = 12\]

確認：左辺 \(\frac{12}{2}+1=7\)、右辺 \(\frac{12}{3}+3=7\) ✅

例題６　比を含む方程式

\[ \frac{2x - 1}{3} = \frac{x + 2}{2} \]
解答

分母の最小公倍数 \(6\) を両辺にかける：

\[6 \times \frac{2x-1}{3} = 6 \times \frac{x+2}{2}\]
\[2(2x-1) = 3(x+2)\]
\[4x - 2 = 3x + 6\]
\[4x - 3x = 6 + 2\]
\[x = 8\]

確認：左辺 \(\dfrac{15}{3}=5\)、右辺 \(\dfrac{10}{2}=5\) ✅

一次方程式の利用（文章題）

文章題を解く手順

文章題・例題①

あるクラスの生徒数は \(35\) 人。男子は女子より \(3\) 人少ない。男子・女子はそれぞれ何人か。

解答

① 求めるものを \(x\) とおく

女子の人数を \(x\) 人とする。

② 等しい関係を見つける

男子は \(x - 3\) 人で、合わせて \(35\) 人。

③ 方程式を立てる

\[x + (x - 3) = 35\]

④ 解く

\[2x - 3 = 35 \implies 2x = 38 \implies x = 19\]

⑤ 確認・答える

女子 \(19\) 人、男子 \(19 - 3 = 16\) 人。合計 \(19 + 16 = 35\) 人 ✅

文章題・例題②

1個 \(80\) 円のリンゴと 1個 \(120\) 円のオレンジを合わせて \(10\) 個買ったら \(960\) 円だった。リンゴとオレンジはそれぞれ何個か。

解答

リンゴを \(x\) 個とすると、オレンジは \((10 - x)\) 個。

代金の関係より：

\[80x + 120(10-x) = 960\]
\[80x + 1200 - 120x = 960\]
\[-40x = -240 \implies x = 6\]

リンゴ \(6\) 個、オレンジ \(4\) 個。

確認：\(80\times6 + 120\times4 = 480 + 480 = 960\) ✅

練習問題

(1) 次の方程式を解け。

\[ \text{(a)}\quad x + 9 = 2 \qquad \text{(b)}\quad 3x = -21 \qquad \text{(c)}\quad -x = 6 \]
解答

(a) \(x = 2 - 9 = -7\)

(b) \(x = -21 \div 3 = -7\)

(c) \(x = -6\)（両辺に \(-1\) をかける）

(2) 次の方程式を解け。

\[ \text{(a)}\quad 4x - 7 = 9 \qquad \text{(b)}\quad -3x + 5 = -4 \qquad \text{(c)}\quad 6x + 1 = -11 \]
解答

(a) \(4x = 16 \implies x = 4\)

(b) \(-3x = -9 \implies x = 3\)

(c) \(6x = -12 \implies x = -2\)

(3) 次の方程式を解け。

\[ \text{(a)}\quad 5x - 1 = 3x + 7 \qquad \text{(b)}\quad 4 - 3x = x - 8 \]
解答

(a) \(5x - 3x = 7 + 1 \implies 2x = 8 \implies x = 4\)

(b) \(-3x - x = -8 - 4 \implies -4x = -12 \implies x = 3\)

(4) 次の方程式を解け。

\[ \text{(a)}\quad 4(x - 2) = 12 \qquad \text{(b)}\quad 2(3x + 1) = 5(x - 1) \]
解答

(a) \(4x - 8 = 12 \implies 4x = 20 \implies x = 5\)

(b) \(6x + 2 = 5x - 5 \implies 6x - 5x = -5 - 2 \implies x = -7\)

(5) 次の方程式を解け。

\[ \text{(a)}\quad \frac{x}{5} - 2 = 1 \qquad \text{(b)}\quad \frac{x-1}{2} = \frac{2x+1}{5} \]
解答

(a) 両辺に \(5\) をかける：\(x - 10 = 5 \implies x = 15\)

(b) 両辺に \(10\) をかける：

\[5(x-1) = 2(2x+1)\]
\[5x - 5 = 4x + 2 \implies x = 7\]

(6) 次の文章題を方程式を使って解け。

連続する3つの整数の和が \(60\) になる。この3つの整数を求めよ。

解答

真ん中の整数を \(x\) とすると、3数は \(x-1,\ x,\ x+1\)。

\[(x-1) + x + (x+1) = 60\]
\[3x = 60 \implies x = 20\]

答え：\(\mathbf{19,\ 20,\ 21}\)

確認：\(19 + 20 + 21 = 60\) ✅

(7) 次の文章題を方程式を使って解け。

現在、父の年齢は \(44\) 歳、子の年齢は \(12\) 歳。父の年齢が子の年齢の \(2\) 倍になるのは何年後か。

解答

\(x\) 年後とする。

\[44 + x = 2(12 + x)\]
\[44 + x = 24 + 2x\]
\[44 - 24 = 2x - x\]
\[x = 20\]

20年後（確認：父 \(64\) 歳、子 \(32\) 歳 → \(64 = 2 \times 32\) ✅）

(8)（発展） 次の方程式を解け。

\[ \frac{3x-2}{4} - \frac{x+1}{3} = 1 \]
解答

分母の最小公倍数 \(12\) を両辺にかける：

\[12 \times \frac{3x-2}{4} - 12 \times \frac{x+1}{3} = 12 \times 1\]
\[3(3x-2) - 4(x+1) = 12\]
\[9x - 6 - 4x - 4 = 12\]
\[5x - 10 = 12\]
\[5x = 22 \implies x = \frac{22}{5}\]

まとめ

一次方程式の解き方のポイント

手順 やること
① 移項 \(x\) の項は左辺、数の項は右辺へ（符号が逆になる）
② 整理 左辺・右辺をそれぞれ計算してまとめる
③ 割る 両辺を \(x\) の係数で割って \(x =\) の形にする
④ 確認 解を元の式に代入して確かめる

よくある間違い

  • 移項したのに符号を変えない：\(x + 5 = 9 \to x = 9 + 5\)（❌）→ \(x = 9 - 5\)（✅）
  • カッコの展開ミス：\(-2(x-3) = -2x - 6\)（❌）→ \(-2x + 6\)（✅）
  • 分数の分母はらいでカッコを付け忘れる：\(\dfrac{x-1}{2} \times 6 = 6x - 1\)（❌）→ \(3(x-1) = 3x-3\)（✅）
  • 確認を省く：解が正しいか代入して必ず確かめよう