データの活用（1年） 練習問題¶
度数分布とヒストグラムの解説ページで学んだことを、新しい問題で確かめよう。解説ページの例題や練習問題とはちがう問題です。
このページの使い方
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- 答え合わせは「解答」を開いて確かめよう。
- 間違えた問題は、小見出しの下にある解説ページへ戻って確認しよう。
基本¶
度数分布表と代表値¶
確認する解説ページ：度数分布とヒストグラム
(1)〜(8) は、ある学級の生徒 \(20\) 人の通学時間（分）を調べた次のデータを使う。
(1) 階級の幅を \(5\) 分とし、「\(5\) 分以上 \(10\) 分未満」から始まる度数分布表を作れ。
解答
| 階級（分） | 度数（人） |
|---|---|
| \(5\) 以上 \(10\) 未満 | \(3\) |
| \(10\) 以上 \(15\) 未満 | \(4\) |
| \(15\) 以上 \(20\) 未満 | \(5\) |
| \(20\) 以上 \(25\) 未満 | \(5\) |
| \(25\) 以上 \(30\) 未満 | \(2\) |
| \(30\) 以上 \(35\) 未満 | \(1\) |
| 合計 | \(20\) |
\(20\) 分ちょうどの人は「\(20\) 以上 \(25\) 未満」に入ることに注意。
(2) 「\(15\) 分以上 \(20\) 分未満」の階級の階級値を答えよ。
解答
階級のまん中の値なので \(\dfrac{15 + 20}{2} = 17.5\)（分）
(3) データの範囲を求めよ。
解答
最大値 \(30\)、最小値 \(6\) なので \(30 - 6 = 24\)（分）
(4) 中央値を求めよ。
解答
小さい順に並べると \(6, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 27, 30\)
\(20\) 個なので、\(10\) 番目と \(11\) 番目の平均。\(\dfrac{17 + 18}{2} = 17.5\)（分）
(5) 平均値を求めよ。
解答
合計は \(350\) 分。\(350 \div 20 = 17.5\)（分）
(6) 「\(15\) 分以上 \(20\) 分未満」の階級の相対度数を求めよ。
解答
\(\dfrac{5}{20} = 0.25\)
(7) 通学時間が \(20\) 分未満の生徒は何人か。累積度数を使って求めよ。また、その累積相対度数を求めよ。
解答
\(3 + 4 + 5 = 12\)（人）。累積相対度数は \(\dfrac{12}{20} = 0.6\)
(8) (1) の度数分布表をもとにヒストグラムをかくとき、いちばん高い長方形になるのはどの階級か。
解答
度数が最大（\(5\) 人）の「\(15\) 分以上 \(20\) 分未満」と「\(20\) 分以上 \(25\) 分未満」の2つが同じ高さで、いちばん高い。
(9) 次のデータは、ある店で1日に売れた靴のサイズ（cm）である。最頻値を答えよ。
解答
\(25\) が \(3\) 回でいちばん多いので、最頻値は \(25\) cm
度数分布表の読み取り¶
確認する解説ページ：度数分布とヒストグラム
(10)〜(16) は、ある学年 \(40\) 人の数学のテストの結果をまとめた次の表を使う。
| 階級（点） | 度数（人） |
|---|---|
| \(40\) 以上 \(50\) 未満 | \(2\) |
| \(50\) 以上 \(60\) 未満 | \(6\) |
| \(60\) 以上 \(70\) 未満 | \(11\) |
| \(70\) 以上 \(80\) 未満 | \(13\) |
| \(80\) 以上 \(90\) 未満 | \(6\) |
| \(90\) 以上 \(100\) 未満 | \(2\) |
| 合計 | \(40\) |
(10) 階級の幅は何点か。
解答
\(10\) 点
(11) 最頻値を求めよ。
解答
度数が最大の階級は「\(70\) 点以上 \(80\) 点未満」。その階級値なので \(75\) 点
(12) \(80\) 点未満の生徒は何人か。
解答
\(2 + 6 + 11 + 13 = 32\)（人）
標準¶
度数分布表から求める¶
確認する解説ページ：度数分布とヒストグラム
(13) 上の表から平均値を求めよ。
解答
（階級値）×（度数）の合計を、度数の合計でわる。
\(45 \times 2 + 55 \times 6 + 65 \times 11 + 75 \times 13 + 85 \times 6 + 95 \times 2 = 2810\)
\(2810 \div 40 = 70.25\)（点）
(14) 中央値はどの階級に入っているか。
解答
\(40\) 人なので、\(20\) 番目と \(21\) 番目の平均。累積度数は \(2,\ 8,\ 19,\ 32,\ \cdots\) なので、\(20\) 番目と \(21\) 番目はどちらも「\(70\) 点以上 \(80\) 点未満」に入る。
(15) \(70\) 点以上の生徒の割合を、相対度数で答えよ。
解答
\(13 + 6 + 2 = 21\)（人）。\(\dfrac{21}{40} = 0.525\)
(16) 上の表について、次の (ア)〜(エ) のうち、正しいといえるものをすべて選べ。
(ア) いちばん点数が高い生徒は \(95\) 点である。
(イ) \(60\) 点未満の生徒は \(8\) 人である。
(ウ) 表から求めた平均値は \(70\) 点以上である。
(エ) 中央値は「\(60\) 点以上 \(70\) 点未満」の階級に入る。
解答
(イ)、(ウ)
(ア) 表からは「\(90\) 点以上 \(100\) 点未満」としか分からない。\(95\) 点は階級値。
(エ) (14) より「\(70\) 点以上 \(80\) 点未満」に入る。
代表値の使い分けと相対度数¶
確認する解説ページ：度数分布とヒストグラム
(17) 8人の握力（kg）を調べた。中央値を求めよ。
解答
小さい順に \(24, 28, 29, 31, 33, 35, 37, 40\)。4番目と5番目の平均で \(\dfrac{31 + 33}{2} = 32\)（kg）
(18) 5人のテストの点数は \(6,\ 8,\ x,\ 7,\ 9\)（点）で、平均値は \(7.4\) 点だった。\(x\) の値を求めよ。
解答
合計は \(7.4 \times 5 = 37\)。\(6 + 8 + 7 + 9 = 30\) なので \(x = 7\)
(19) 7人が1か月に読んだ本の冊数は次のとおりである。
(a) 平均値と中央値を求めよ（平均値は小数第2位を四捨五入）。
(b) この7人の「ふつうの冊数」を表すには、平均値と中央値のどちらがよいか。理由とともに答えよ。
解答
(a) 平均値 \(75 \div 7 = 10.71\cdots\) より約 \(10.7\) 冊。中央値は4番目の \(6\) 冊。
(b) 中央値。\(40\) 冊という極端に大きい値に平均値が引っぱられ、7人中6人が平均値より少なくなっているから。
(20) 1組 \(30\) 人のうち、1日の読書時間が \(60\) 分以上の生徒は \(9\) 人、2組 \(25\) 人のうち \(60\) 分以上の生徒は \(8\) 人だった。\(60\) 分以上の生徒の割合が大きいのはどちらの組か。
解答
1組 \(\dfrac{9}{30} = 0.30\)、2組 \(\dfrac{8}{25} = 0.32\)
人数のちがう集団は相対度数で比べる。2組の方が大きい。
(21) 度数の合計が \(25\) の度数分布表で、ある階級の相対度数が \(0.24\) だった。その階級の度数を求めよ。
解答
\(25 \times 0.24 = 6\)
(22) 次の相対度数の表で、空らん ア にあてはまる数を求めよ。
| 階級 | Ⅰ | Ⅱ | Ⅲ | Ⅳ | Ⅴ |
|---|---|---|---|---|---|
| 相対度数 | \(0.15\) | \(0.30\) | ア | \(0.20\) | \(0.10\) |
解答
相対度数の合計は \(1\) になる。\(1 - (0.15 + 0.30 + 0.20 + 0.10) = 0.25\)
(23) 次のデータの最頻値・中央値・平均値をそれぞれ求めよ。
解答
最頻値：\(10\)（\(3\) 回）
中央値：8個なので4番目と5番目の平均。\(\dfrac{8 + 10}{2} = 9\)
平均値：合計 \(67\) なので \(67 \div 8 = 8.375\)
(24) (10)〜(16) の表で、「\(60\) 点以上 \(70\) 点未満」の階級の相対度数と、その階級までの累積相対度数を求めよ。
解答
相対度数：\(\dfrac{11}{40} = 0.275\)
累積相対度数：\(\dfrac{2 + 6 + 11}{40} = \dfrac{19}{40} = 0.475\)
発展¶
(25) A班とB班の小テストの点数（10点満点）は次のとおりである。
A班：\(3,\ 5,\ 6,\ 6,\ 7,\ 9\) B班：\(1,\ 4,\ 6,\ 7,\ 8,\ 10\)
(a) それぞれの平均値と範囲を求めよ。
(b) 2つの班の点数の分布のちがいを説明せよ。
解答
(a) A班：平均値 \(36 \div 6 = 6\) 点、範囲 \(9 - 3 = 6\) 点
B班：平均値 \(36 \div 6 = 6\) 点、範囲 \(10 - 1 = 9\) 点
(b) 平均値は同じだが、B班の方が範囲が大きく、点数の散らばりが大きい。
(26) (1) の度数分布表から平均値を求め、(5) でもとのデータから求めた平均値と比べよ。値がちがう理由も答えよ。
解答
\(7.5 \times 3 + 12.5 \times 4 + 17.5 \times 5 + 22.5 \times 5 + 27.5 \times 2 + 32.5 \times 1 = 360\)
\(360 \div 20 = 18\)（分）。もとのデータの平均値 \(17.5\) 分とちがう。
度数分布表では、同じ階級に入るデータをすべて階級値とみなして計算するから。
(27) \(30\) 人の通学時間をまとめた次の表で、\(20\) 分以上の生徒の相対度数は \(0.6\) だった。\(x\)、\(y\) の値を求めよ。
| 階級（分） | 度数（人） |
|---|---|
| \(0\) 以上 \(10\) 未満 | \(4\) |
| \(10\) 以上 \(20\) 未満 | \(x\) |
| \(20\) 以上 \(30\) 未満 | \(10\) |
| \(30\) 以上 \(40\) 未満 | \(y\) |
| \(40\) 以上 \(50\) 未満 | \(3\) |
| 合計 | \(30\) |
解答
\(20\) 分以上の人数は \(30 \times 0.6 = 18\) 人。\(10 + y + 3 = 18\) より \(y = 5\)
合計から \(4 + x + 10 + 5 + 3 = 30\) より \(x = 8\)
(28) 9人の記録（回）は次のとおりである。
ここに、記録が \(30\) 回の人が1人加わった。中央値と平均値は、それぞれどれだけ変わるか。
解答
加わる前：中央値は5番目の \(15\) 回、平均値は \(141 \div 9 = 15.66\cdots\) 回
加わった後：10人なので中央値は5番目と6番目の平均 \(\dfrac{15 + 17}{2} = 16\) 回、平均値は \(171 \div 10 = 17.1\) 回
中央値は \(1\) 回、平均値は約 \(1.4\) 回大きくなる。大きい値が加わると、平均値の方が大きく動く。
(29) 平均値が \(62\) 点の \(20\) 人のグループと、平均値が \(70\) 点の \(30\) 人のグループを合わせた \(50\) 人の平均値を求めよ。
解答
合計点は \(62 \times 20 + 70 \times 30 = 1240 + 2100 = 3340\)（点）
\(3340 \div 50 = 66.8\)（点）
\(\dfrac{62 + 70}{2} = 66\) としないこと。人数のちがいを考える。
(30) ある階級の度数が \(9\)、相対度数が \(0.15\) だった。度数の合計を求めよ。
解答
（度数の合計）\(= 9 \div 0.15 = 60\)